감쇠장

감쇠장(減衰場, 영어: evanescent field) 또는 소산장(消散場)이란 전자파(빛),가 특정한 조건 하에서 금속 같은 반사성이 있는 매질 내부에서 야기하는 전자장의 변동을 말한다. 감쇠장에서 방출(반사)되는 전자파인 소멸파(消滅波, 영어: evanescent wave)는 지수함수적으로 세기가 감소하는 전자기파로 근접장파의 일종이다.

도체 속에서의 전자기파

일반적으로 도체 내에서는 전하의 움직임을 조절할 수 없고, 또한 ${\vec {J_{free}}}\neq 0$이다. 옴의 법칙에 따르면, ${\vec {J_{free}}}=\sigma {\vec {E}}$이다. 따라서 맥스웰 방정식은 다음과 같이 정리된다.

${\vec {\triangledown }}\cdot {\vec {E}}={\frac {\rho _{free}}{\epsilon }}$

${\vec {\triangledown }}\cdot {\vec {B}}=0$

${\vec {\triangledown }}\times {\vec {E}}=-{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}$

${\vec {\triangledown }}\times {\vec {B}}=\mu \sigma {\vec {E}}+\mu \epsilon {\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}$

이 때, 자유전하에 대한 연속방정식은 다음을 만족한다.

${\frac {\partial \rho _{free}}{\partial t}}=-\sigma ({\vec {\triangledown }}\cdot {\vec {E}})=-{\frac {\sigma }{\epsilon }}\rho _{free}$

따라서 이를 만족하는 해는 다음과 같이 지수함수적으로 감소하는 형태의 자유전하를 보인다.

$\rho _{free}(t)=e^{-{\frac {\sigma }{\epsilon }}t}\rho _{free}(0)$

이 때, 고유시간 $\tau =\epsilon /\sigma$는 초기 자유전하가 흩어지는데 소모되는 characteristic time으로, 완벽한 도체에서는 $\sigma =\infty$이므로 $\tau =0$이다. 따라서 우리는 도체의 자유전하를 0으로 둘 수 있고, 맥스웰 방정식은 다음과 같이 고쳐진다.

${\vec {\triangledown }}\cdot {\vec {E}}=0$

${\vec {\triangledown }}\cdot {\vec {B}}=0$

${\vec {\triangledown }}\times {\vec {E}}=-{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}$

${\vec {\triangledown }}\times {\vec {B}}=\mu \sigma {\vec {E}}+\mu \epsilon {\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}$

이를 정리하면 다음과 같이 전기장과 자기장에 대한 미분방정식을 각각 얻을 수 있다.

$\triangledown ^{2}{\vec {E}}=\mu \epsilon {\frac {\partial ^{2}{\vec {E}}}{\partial t^{2}}}+\mu \sigma {\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}$

$\triangledown ^{2}{\vec {B}}=\mu \epsilon {\frac {\partial ^{2}{\vec {B}}}{\partial t^{2}}}+\mu \sigma {\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}$

이 미분방정식을 만족하는 해는 다음과 같다.

${\widetilde {\vec {E}}}(z,t)={\widetilde {\vec {E_{0}}}}e^{i({\widetilde {k}}z-\omega t)}$

${\widetilde {\vec {B}}}(z,t)={\widetilde {\vec {B_{0}}}}e^{i({\widetilde {k}}z-\omega t)}$

이 때, ${\widetilde {k}}^{2}=\mu \epsilon \omega ^{2}+i\mu \sigma \omega$이므로, ${\widetilde {k}}$는 복소수이고, ${\widetilde {k}}=k+i\kappa$라고 할 때,

$k=\omega {\sqrt {\frac {\epsilon \mu }{2}}}[{\sqrt {1+({\frac {\sigma }{\epsilon \omega }})^{2}}}+1]^{\frac {1}{2}}$

$\kappa =\omega {\sqrt {\frac {\epsilon \mu }{2}}}[{\sqrt {1+({\frac {\sigma }{\epsilon \omega }})^{2}}}-1]^{\frac {1}{2}}$

로 정리된다. 따라서 전자기장의 편광과 위상, 실수 부분을 고려하여 실질적인 전자기장은 다음과 같이 나타난다.

${\vec {E}}(z,t)=E_{0}e^{-\kappa z}cos(kz-\omega t+\delta _{E})$

${\vec {B}}(z,t)=B_{0}e^{-\kappa z}cos(kz-\omega t+\delta _{E}+\phi )$

이 때, 지수함수적으로(e^{-\kappa z}) 감쇠하는 부분에 의해 이는 소멸파로 분류되는 현상 중 하나이다.

이방성(anisotropic) 매질에서의 전자기파

소개

평면파가 소멸파라는 것은 평면파의 slowness vector의 성분 중 적어도 하나가 복소수라는 것이다. 이 복소수의 허수 부분은 공간상에서의 진폭 감쇠 효과를 낳는다.

소멸파에 대한 Christoffel equation

조화 평면파가 homogeneous, arbitrarily한 이방성 매질을 통과한다고 가정하자. 이 때, 평면파는 다음과 같이 표현된다.

$u_{n}=U_{n}e^{i\omega (m_{j}x_{j}-t)}$

(이 때, ${\vec {u}}$는 변위벡터, ${\vec {U}}$는 단위 편광 벡터, $\omega$는 각속도 ${\vec {m}}$은 slowness 벡터이다. 그리고 우리가 알고 있듯이 일반적으로 ${\vec {k}}=\omega {\vec {m}}$이다.)

이제 slowness 벡터의 성분 중 적어도 하나가 복소수라고 가정하자.

$m_{j}=m_{j}^{re}+im_{j}^{im}$

$u_{n}=U_{n}e^{i\omega (m_{j}^{re}x_{j}-t)-\omega m_{j}^{im}x_{j}}$

이 평면파는 파동 방정식을 만족해야 하므로 다음의 식이 유도된다.

$\rho {\frac {\partial ^{2}u_{i}}{\partial t^{2}}}-c_{ijkl}{\frac {\partial ^{2}u_{k}}{\partial x_{j}\partial x{l}}}=0$

(일반적으로 $c_{ijkl}$은 christoffel matrix라고 물리우며, $G_{ik}$로 쓰인다. 여기서 $\delta _{ik}$는 Kronecker symbol이다.)

소멸파의 조건에 의해서 slowness 벡터와 변위 벡터는 일반적으로 모두 복소수이다. 따라서 위 식의 좌변은 실수부와 허수부로 나뉠 수 있고, 이는 $\ vec{m},{\vec {U}}$에 대한 coupled equation을 준다.

지금 우리는 non-attenuative, 즉 purely elastic model에 대해 다루고 있다고 할 때, 매질이 elastic하고, isotropic 하다면 slowness 벡터의 실수부와 허수부가 서로에 대해 수직하다. 게다가 purely isotropic tensor $c_{ijkl}$는 방정식을 다음의 두 관계식으로 나타내준다.

$|{\vec {m}}^{re}|^{2}={\frac {1}{V^{2}}}+|{\vec {m}}^{im}|^{2}$

${\vec {m}}^{re}\cdot {\vec {m}}^{im}=0$

(이 때, V는 P- 또는 S- wave의 속도이고, ${\vec {m}}^{im}$에 의해 결정되는 진폭의 감쇠 방향과 ${\vec {m}}^{re}$에 의해 결정되는 파동의 진행방향이 서로 수직하다.

${\vec {m}}^{im}$의 크기는 소멸파의 frequency-normalized 진폭 감쇠 요인을 나타내고, 소멸파의 속도(${\frac {1}{|{\vec {m}}^{re}|}}$)는 $|{\vec {m}}^{im}|$의 증가에 의해 매질의 속도 V부터 0까지 감소하게 된다.

이 때, 소멸파는 [$x_{1}$, $x_{2}$] plane으로 진행하며, $x_{3}$ 방향으로 감쇠한다고 가정하자. 또한 매질은 수직축에 대해 transversely isotropic하므로, VTI 모델은 azimuthally isotropic하며, 모든 수직 평면은 동일하므로 slowness 벡터를 좌표평면 [$x_{1}$ , $x_{3}$]에서 다루기에 충분하다. 따라서 $m_{2}=0$이다.

${\vec {m}}^{re}=\{m_{1}^{re},0,0\},{\vec {m}}^{im}=\{0,0,m_{3}^{im}\}$

따라서 평면파는 다음과 같이 표현된다.

$u_{n}=U_{n}e^{i\omega (m_{1}x_{1}-t)-\omega m_{3}x_{3}}$

그리고 VTI 모델의 stiffness tensor와 위의 단순화된 slowness 벡터를 $c_{ijkl}m_{j}m_{l}-\rho \delta _{ik}=0$에 대입하면, 다음의 세가지 식을 얻는다.

$[c_{11}(m_{1}^{re})^{2}-c_{55}(m_{3}^{im})^{2}-\rho ]U_{1}+i(c_{13}+c_{55})m_{1}^{re}m_{3}^{im}U_{3}=0$

$[c_{66}(m_{1}^{re})^{2}-c_{55}(m_{3}^{im})^{2}-\rho ]U_{2}=0$

$i(c_{13}+c_{55})m_{1}^{re}m_{3}^{im}U_{1}+[c_{55}(m_{1}^{re})^{2}-c_{33}(m_{3}^{im})^{2}-\rho ]U_{3}=0$

여기서 SH-wave는 두 번째 식으로부터 유도되는 소멸파이고, P-wave와 SV-wave는 각각 첫 번째, 세 번째 식에서 유도되는 소멸파이다.

SH-wave에 대한 정확한 해

SH-wave의 편광 벡터는 파동의 진행 평면인 [$x_{1}$, $x_{3}$]에 수직하고, slowness 벡터의 수평성분과 수직성분은 위에 주어진 두 번째 식에 의해 연관되어 있다.

$c_{66}m_{1}^{2}-c_{55}m_{3}^{2}-\rho =0$

이 때, slowness 벡터의 수평성분은 다음과 같이 표현할 수 있다.

$m_{1}^{2}={\frac {1}{V_{hor,SH}^{2}}}+{\frac {c_{55}}{c_{66}}}m_{3}^{2}={\frac {1}{1+2\gamma }}({\frac {1}{V_{S0}^{2}+m_{3}^{2}}})$

$V_{hor,SH}={\sqrt {\frac {c_{66}}{\rho }}}=V_{S0}{\sqrt {1+2\gamma }}$

(여기서 $\gamma$는 Thomsen anisotropy parameter이며, $\gamma ={\frac {c_{66}-c_{55}}{2c_{55}}}$이고, $V_{S0}$는 shear-wave vertical velocity로 $V_{S0}={\sqrt {\frac {c_{55}}{\rho }}}$이다. 또한 $V_{hor,SH}$는 homogeneous SH-wave의 수평 속도이다.)

등방성 매질에 대해서 SH-소멸파의 속도는 $V_{hor,SH}$ 보다 $|m_{3}|$만큼 작았다. 일반적으로 $\gamma$는 0보다 크기 때문에 이는 주어진 $m_{1}$ 값에 대해 $m_{3}^{2}$값을 증가시킨다. 따라서 진폭 감쇠 요인을 증가시킨다.

P-wave와 SV-wave의 정확한 해

P-wave와 SV-wave는 각각

$[c_{11}(m_{1}^{re})^{2}-c_{55}(m_{3}^{im})^{2}-\rho ]U_{1}+i(c_{13}+c_{55})m_{1}^{re}m_{3}^{im}U_{3}=0$

$i(c_{13}+c_{55})m_{1}^{re}m_{3}^{im}U_{1}+[c_{55}(m_{1}^{re})^{2}-c_{33}(m_{3}^{im})^{2}-\rho ]U_{3}=0$

에 의해서 유도되는 소멸파인데, 이 두 방정식은 실수 변위 벡터 ${\vec {U}}$에 대해 일반적으로 동시에 풀 수 없다. 이는 물리학적으로 수직축과 수평축의 편광 성분 사이의 위상 변화가 발생하고, 소멸파의 편광이 비선형적이라는 것을 의미한다.

등방성 매질에 대한 문제에서는 이 위상 변화가 90도임을 보였는데, 이방성 매질에 대해서도 이를 적용하고 단순화를 위해 $U_{1},U_{3}$를 각각 실수, 허수로 정하였다.

(단, 위의 두 식에선 편광 성분들 사이의 비율만이 주어져 있기 때문에 $U_{1},U_{3}$는 언제든지 complex로 정할 수 있다.)

만일 $U_{1}$이 실수이고, $U_{3}=i|U_{3}|$라고 하면, 위의 두 식은 다음과 같이 정리된다.

$(c_{11}m_{1}^{2}-c_{55}m_{3}^{2}-\rho )U_{1}-(c_{13}+c_{55})m_{1}m_{3}|U_{3}|=0$

$(c_{13}+c_{55})m_{1}m_{3}U_{1}+(c_{55}m_{1}^{2}-c_{33}m_{3}^{2}-\rho )|U_{3}|=0$

위 방정식에 대해서 non-trivial한 해를 얻기 위해서는 $U_{1}$과 $|U_{3}|$에 대한 선형 방정식의 판별식이 0이 되어야 하므로,

$(c_{11}m_{1}^{2}-c_{55}m_{3}^{2}-\rho )(c_{55}m{1}^{2}-c_{33}m_{3}^{2}-\rho )+(c_{13}+c_{55})^{2}m_{1}^{2}m_{3}^{2}=0$

P-wave에 대한 약한 이방성 근사

$m_{1}$과 $m_{3}$에 대한 정확한 표현은 간단하지 않다.하지만 P-wave에서 $|m_{1}|$이 $|m_{3}|$보다 약간 작은 것을 도입하면 다음과 같이 표현할 수 있다.

$m_{1}^{2}={\frac {1}{V_{hor}^{2}}}+m_{3}^{2}(1-4\epsilon +2\delta )-2m_{3}^{4}V_{P0}^{2}(\epsilon -\delta )$

(단, $V_{hor}=V_{P0}{\sqrt {1+2\epsilon }}$)

만일 $\epsilon =\delta =0$이라면 $m_{1}^{2}={\frac {1}{V_{P0}^{2}}}+m_{3}^{2}$이므로,

$m_{1}$은 $m_{3}$가 증가함에 따라 단조증가 하게 되고, 이는 소멸파의 진폭이 수직 방향에 대해서 더 빠르게 감쇠한다는 것을 의미한다.

만일 $\epsilon$과 $\delta$가 $V_{hor}$과 $m_{3}^{2}$항에 대해 큰 변화를 주고, $m_{3}^{4}$항이 순수하게 이방성을 띤다면, 식은 다음과 같이 정리할 수 있다.

${\frac {m_{1}^{2}}{{\frac {1}{V_{P0}^{2}}}+m_{3}^{2}}}=1-2\epsilon -2m_{3}^{2}V_{P0}^{2}(\epsilon -\delta )$

$m_{3}V_{P0}$의 값이 작은 소멸파에 대해선 (즉 작은 진폭 감쇠에 대해) 위 식의 이방성 성분이 주로 $\epsilon$에 의해서 조정된다.

일반적인 TI 모델은 $\epsilon >0,\epsilon >\delta$인 성질을 갖고 있으므로, 이방성 부분은 주어진 $m_{3}$에 대해 $m_{1}$를 줄이게 된다. 이는 주어진 수평 slowness vector인 $m_{1}$에 대해서 이방성 성분이 $m_{3}$을 증가시키는 것을 뜻하므로 진폭의 감쇠가 일어난다.

SV-wave에 대한 약한 이방성 근사

P-wave와 마찬가지의 과정에 따라 SV-wave에 대한 방정식은 다음과 같이 정리된다.

$m_{1}^{2}={\frac {1}{V_{S0}^{2}}}+m_{3}^{2}(1+2\sigma )+2m_{3}^{4}V_{S0}^{2}\sigma$

그리고 $\rho =(V_{P0}^{2}/V_{S0}^{2})(\epsilon -\delta )$ 이므로,

$m_{1}^{2}={\frac {1}{V_{S0}^{2}}}+m_{3}^{2}(1+2\sigma )+2m_{3}^{4}V_{P0}^{2}(\epsilon -\delta )$

이방성은 homogeneous SV-wave의 수평 속도를 변화시키지 않으므로, 수평속도는 수직속도 $V_{S0}$와 같다.

일반적으로 $\sigma$는 0보다 크기 때문에 이는 $m_{3}$를 줄이기 때문에, 고정된 $m_{1}$ 에 대해서 진폭 감쇠 효과가 일어난다.