결합 대수

이 문서는 결합 법칙을 만족시키는 일반적인 대수에 관한 것입니다. 순서론과 조합론에서, 근접 관계(영어: incidence)를 추상화한 대수적 구조에 대해서는 근접 대수 문서를 참고하십시오.

추상대수학에서 결합 대수(結合代數, 영어: associative algebra)는 결합 법칙을 만족시키는 대수이다. 즉, 가군과 유사환의 구조를 동시에 갖춘 대수 구조이다. 가군이 아벨 군을 일반화하는 것처럼, 단위 결합 대수는 환을 일반화한다.

정의

유사 결합 대수

가환 유사환 $R$ 위의 유사 결합 대수(영어: (possibly) non-unital associative algebra) $(M,0,+,\{r\cdot \}_{r\in R},*)$는 다음과 같은 데이터로 구성된 대수 구조이다.

• $(M,0,+,\{r\cdot \}_{r\in R})$는 $R$의 가군을 이룬다.
• $(M,0,+,*)$은 유사환을 이룬다.

이는 다음과 같은 추가 공리를 만족시켜야 한다.

• 모든 $r\in R$ 및 $m,n\in M$에 대하여, $r\cdot (m*n)=(r\cdot m)*n=m*(r\cdot n)$

이는 유사환의 준동형 $R\to Z(M)$과 같다. 여기서 $Z(M)=\{z\in M\colon m*z=z*m\}$은 $M$의 중심이다.

유사 결합 대수의 준동형은 $(0,+,\{r\cdot \}_{r\in R},*)$를 보존시키는 함수이다. 즉, 가군의 준동형이자 유사환의 준동형을 이루는 함수이다. 유사 결합 대수와 유사 대수 준동형의 범주를 $R{\text{-nuAssoc}}$이라고 하자.

결합 대수

가환환 $R$ 위의 (단위) 결합 대수(單位結合代數, 영어: (unital) associative algebra) $(M,0,+,\{r\cdot \}_{r\in R},*,1)$는 다음과 같은 데이터로 구성된 대수 구조이다.

• $(M,0,+,\{r\cdot \}_{r\in R},*)$는 $R$ 위의 유사 결합 대수를 이룬다.
• $(M,0,1,+,*)$은 환을 이룬다.

이는 환 준동형 $R\to Z(M)$과 같다. 여기서 $Z(M)=\{z\in M\colon m*z=z*m\}$은 $M$의 중심이다.

결합 대수의 준동형은 $(0,1,+,\{r\cdot \}_{r\in R},*)$를 보존시키는 함수이다. 즉, 가군의 준동형이자 환 준동형을 이루는 함수이다. 이들은 유사 결합 대수의 준동형 가운데, 단위원을 추가로 보존하는 것들이다. 결합 대수와 결합 대수 준동형의 범주를 $R{\text{-Assoc}}$이라고 하자.

가환 대수

가환환 $R$ 위의 결합 대수 가운데, 가환환인 것을 가환 대수(영어: commutative algebra)라고 한다. $R$ 위의 단위 가환 대수 $M$은 가환환 준동형 $R\to M$과 같다.

성질

결합 대수의 모임과 유사 결합 대수의 모임 둘 다 대수 구조 다양체를 이루며, 이에 따라 곱 · 쌍대곱 · 시작 대상 · 끝 대상의 존재를 알 수 있다.

구조	유사 결합 대수	결합 대수
시작 대상	영가군	$R$
끝 대상	영가군	영가군
곱	유사환으로서의 곱	(유사)환으로서의 곱
쌍대곱	결합 대수의 자유곱	단위 결합 대수의 자유곱

즉, 유사 결합 대수의 범주는 영 대상을 가지지만, 결합 대수의 경우는 시작 대상과 끝 대상이 서로 다르다. 두 범주에서 곱은 서로 같으며, 곱집합과 호환되지만, 쌍대곱은 서로 다르다.

또한, (유사) 결합 대수의 범주에는 텐서곱 $\otimes _{R}$이 존재하며, 이는 $R$ 위의 가군의 텐서곱과 같다. 이에 따라 결합 대수의 범주는 대칭 모노이드 범주를 이룬다.

망각 함자

유사 결합 대수의 범주에서 유사환의 범주로 가는 망각 함자

$R{\text{-nuAssoc}}\to \operatorname {Rng}$

및 결합 대수의 범주에서 환의 범주로 가는 망각 함자

$R{\text{-Assoc}}\to \operatorname {Ring}$

가 존재한다. 후자의 왼쪽 수반 함자는 $S\mapsto R\otimes _{\mathbb {Z} }S$이다.

또한, 결합 대수의 범주에서 유사 결합 대수의 범주로 가는 망각 함자

$R{\text{-Assoc}}\to R{\text{-nuAssoc}}$

가 존재한다. 이 함자의 왼쪽 수반 함자는 단위원이 없는 유사 결합 대수 $A$를

$A\mapsto R\oplus A$

로 대응시킨다 ($\oplus$는 아벨 군의 직합). 이 경우, $R\oplus A$ 위의 연산은 다음과 같다.

$s\cdot (r,a)=(sr,s\cdot a)$

$(r,a)*(s,b)=(rs,s\cdot a,r\cdot b,a*b)$

분류

복소수체 위의 5차원 이하의 (유사) 결합 대수는 모두 완전히 분류되었다.

3차원 이하 복소수 결합 대수

$\mathbb {C}$ 위의 1차원 결합 대수는 $\mathbb {C}$ 자체 밖에 없다. $\mathbb {C}$ 위의 2차원 단위 결합 대수는 두 개가 있으며, 다음과 같다.

$\mathbb {C} [x]/(x^{2}-1)$

$\mathbb {C} [x]/(x^{2})$

둘 다 가환 대수이므로, 대수기하학적으로 해석할 수 있다. 대수기하학적으로, 전자는 두 개의 닫힌 점 $\pm 1$으로 구성되어 있으며, 후자는 (축소환이 아니므로) 원점을 닫힌 점으로 하는 비축소 스킴이다. 이 둘은 각각 1차원 복소수 벡터 공간 위의 비퇴화 이차 형식 · 퇴화 이차 형식에 대한 클리퍼드 대수이다.

$\mathbb {C}$ 위의 3차원 결합 대수는 다섯 개가 있으며, 다음과 같다.

$\mathbb {C} [x,y]/(x^{2}-x,y^{2}-y,xy)$

$\mathbb {C} [x,y]/(x^{2}-x,y^{2},xy)$

$\mathbb {C} [x,y]/(x^{2},y^{2},xy)$

$\mathbb {C} [x]/(x^{4})$

$\mathbb {C} \langle x,y\rangle /\left(x^{2}-1,y^{2},(x-1)y,y(x-1)\right)$

이 가운데 처음 네 개는 가환 대수이며, 마지막 하나는 비가환 대수이다.

예

환론

특별한 가환환 위의 (유사) 결합 대수는 다음과 같은 특별한 이름이 있다.

가환환 $R$	$R$ 위의 유사 결합 대수	$R$ 위의 결합 대수
정수환 $\mathbb {Z}$	유사환	환
$\mathbb {Z} /(n)$	표수가 $n$의 약수인 유사환 ($ns=0\forall s$)	표수가 $n$의 약수인 환

모든 환 $S$는 스스로의 중심 $Z(S)\{r\in S\colon rs=sr\forall s\in S\}$에 대한 결합 대수를 이룬다. 또한, 임의의 가환환 $R$에 대하여 환 준동형 $R\to Z(S)$가 주어졌다면, $S$는 $R$ 위의 결합 대수를 이룬다. 특히, 가환환의 준동형 $R\to S$가 주어졌다면, $S$는 $R$ 위의 가환 결합 대수를 이룬다.

추가 구조를 갖는 대수

리 대수의 보편 포락 대수는 결합 대수이다. 마찬가지로, 클리퍼드 대수나 외대수는 결합 대수이다.

복소수체 $\mathbb {C}$와 사원수 대수 $\mathbb {H}$는 실수 위의 결합 대수이다. 복소수체에서 사원수 대수로 가는 포함 관계 $a+bi\subseteq \{a+bi+cj+dk\}$를 잡으면, 사원수 대수는 복소수체 위의 결합 대수를 이룬다.

함수 대수

$R$가 위상환이라고 하자. 위상 공간 $X$ 위의 연속 함수 ${\mathcal {C}}(X;R)$의 집합은 자연스럽게 $R$ 위의 결합 대수의 구조가 존재한다.

$r\cdot f\colon x\mapsto r\cdot f(x)$

$f*g\colon x\mapsto f(x)\cdot g(x)$

$0\colon x\mapsto 0_{R}$

$1\colon x\mapsto 1_{R}$

마찬가지로, 매끄러운 다양체 $M$ 위의 매끄러운 함수의 집합 ${\mathcal {C}}^{\infty }(M;\mathbb {R} )$은 실수체 위의 결합 대수의 구조를 가진다.

참고 문헌

• Grillet, Pierre Antoine (2007). 《Abstract algebra》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 242. Springer. doi:10.1007/978-0-387-71568-1. ISBN 978-0-387-71567-4. ISSN 0072-5285. 

외부 링크

• “Associative rings and algebras”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Associative algebra”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Associative unital algebra”. 《nLab》 (영어). 

같이 보기

• 자유 단위 결합 대수
• 리 대수