공종 집합

순서론에서 공종 집합(共終集合, 영어: cofinal set)은 그 하폐포가 전체 집합인, 원순서 집합의 부분 집합이다.

정의

원순서 집합 $(X,\lesssim )$의 공종 집합(共終集合, 영어: cofinal set) $S\subseteq X$는

$X=\downarrow S$

가 성립하는 부분 집합이다. 여기서 $\downarrow$는 하폐포를 뜻한다. 즉, 다음 조건이 성립한다.

$\forall x\in X\exists s\in S\colon x\lesssim s$

쌍대적으로, 원순서 집합 $(X,\lesssim )$의 공시작 집합(共始作共終, 영어: coinitial set) $S\subseteq X$는

$X=\uparrow S$

가 성립하는 부분 집합이다. 여기서 $\uparrow$는 상폐포를 뜻한다. 즉, 다음 조건이 성립한다.

$\forall x\in X\exists s\in S\colon x\gtrsim s$

원순서 집합 $(X,\lesssim )$의 공종 집합 및 공시작 집합들은 각각 포함 관계에 따라 부분 순서 집합을 이룬다. 이들을 각각 $\operatorname {Cofin} (X)$와 $\operatorname {Coinit} (X)=\operatorname {Cofin} (X^{\operatorname {op} })$로 나타내자.

집합 $X$ 및 원순서 집합 $(Y,\lesssim _{Y})$ 사이의 함수 $f\colon X\to Y$의 치역이 $Y$의 공종 집합이라면, $f$를 공종 함수(영어: cofinal map)라고 한다.

성질

추이성

원순서 집합 $(X,\lesssim )$의 두 부분 집합 $Z\subseteq Y\subseteq X$에 대하여,

• 만약 $Z$가 $(Y,\lesssim )$의 공종 집합이며 $Y$가 $(X,\lesssim )$의 공종 집합이라면 $Z$는 $(X,\lesssim )$의 공종 집합이다.
• 만약 $Z$가 $(Y,\lesssim )$의 공시작 집합이며 $Y$가 $(X,\lesssim )$의 공시작 집합이라면 $Z$는 $(X,\lesssim )$의 공시작 집합이다.

극대 · 극소 공종 집합

그렇다면, $\operatorname {Cofin} (X)$와 $\operatorname {Coinit} (X)$의 최대 원소는 $X$이다. 또한, 공종 집합들의 족의 합집합은 공종 집합이며, 공시작 집합들의 족의 합집합은 공시작 집합이다. 따라서, 원순서 집합 $(X,\lesssim )$에 대하여 $(\operatorname {Cofin} (X),\subseteq )$와 $(\operatorname {Coinit} (X),\subseteq )$ 둘 다 모든 상한을 갖는다.

그러나 두 공종 집합의 교집합은 공종 집합이 아닐 수 있다. 예를 들어, 자연수의 전순서 집합 $(\mathbb {N} ,\leq )$에서, 짝수의 집합 $2\mathbb {N}$과 홀수의 집합 $2\mathbb {N} +1$은 각각 공종 집합이지만, 그 교집합인 공집합은 공종 집합이 아니다.

원순서 집합 $(X,\lesssim )$이 다음 조건을 만족시킨다고 하자.

• 임의의 $x\in X$에 대하여, $x$와 비교 가능한 극대 원소 $m\geq x$가 존재한다.

그렇다면, $X$의 부분 집합 $S\subseteq X$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $S$는 $(X,\lesssim )$의 공종 집합이다.
• 임의의 극대 원소 $m\in \max X$에 대하여, $x\sim s$인 $s\in S$가 존재한다. 즉, $[x]_{\sim }\cap S\neq \varnothing$이다.

특히, $X$가 추가로 부분 순서 집합이라면, $\operatorname {Cofin} (X)$의 최소 원소는 $\max X$ (즉, $X$의 최대 원소들의 집합)이다.

예

자연수의 전순서 집합 $(\mathbb {N} ,\leq )$의 부분 집합 $S\subseteq \mathbb {N}$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $S$는 $(\mathbb {N} ,\leq )$의 공종 집합이다.
• $S$는 무한 집합이다.

전순서 집합 $(X,\leq )$의 부분 집합 $S\subseteq X$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $S$는 $(X,\leq )$의 공종 집합이다.
• 만약 $X$가 최대 원소 $m\in X$를 갖는다면, $m\in S$이다. 만약 $X$가 최대 원소를 갖지 않는다면, $S$는 상계를 갖지 않는다.

외부 링크

• “Cofinal set”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Definition: cofinal subset”. 《ProofWiki》 (영어). 
• “Subset of natural numbers is cofinal iff infinite”. 《ProofWiki》 (영어).