극소 모형 프로그램

대수기하학에서 극소 모형 프로그램은 대수다양체의 쌍유리 분류의 일부이다. 프로그램의 목표는 가능한 한 단순한 복소 사영다양체의 쌍유리 모형을 구성하는 것이다. 이 주제는 이탈리아 학파에서 연구한 표면의 고전적 쌍유리기하학에 기원을 두고 있으며 현재 대수 기하학 내에서 활발한 연구 영역이다.

개요

이론의 기본 아이디어는 각 쌍유리사상 동치류에서 "가능한 한 단순한" 다양체를 찾아 다양체의 쌍유리 분류를 단순화하는 것이다. 이 문구의 정확한 의미는 주제의 발전과 함께 진화했다. 원래는 임의의 매끄러운 곡면 $X'$와 쌍유리사상 $f\colon X\to X'$에 대해 $f$가 동형사상이 되는 매끄러운 다양체 $X$를 찾는 것을 의미했다.

현대 공식화에서 이론의 목표는 다음과 같다. 사영다양체 $X$이 주어졌다고 가정한다. 단순성을 위해, $X$는 비특이적이라고 가정한다. 고다이라 차원 $\kappa (X)$을 기준으로 두 가지 경우가 있다:

• $\kappa (X)=-\infty .$ 목표는 $X$와 쌍유리동형인 다양체 $X'$와 $\dim Y<\dim X'$인 사영다양체 $Y$로의 사상$f\colon X'\to Y$을, 일반적인 섬유 $F$가 풍부한 반표준류 $-K_{F}$와 함께 찾는 것이다. 이러한 사상을 파노 섬유 공간이라고 한다.
• $\kappa (X)\geqslant 0.$ 목표는 $X$와 쌍유리동형인 $X'$와 네프 표준류 $K_{X^{\prime }}$를 찾는 것이다. 이 경우, $X'$는 $X$에 대한 극소 모형이다.

위에서 나타나는 다양체 $X'$ 그리고 $X$가 비특이적인지의 여부는 중요하다. 매끄러운 다양체 $X$로 시작했을 때 항상 매끄러운 다양체의 범주 안에서 극소 모형 또는 파노 섬유 공간을 찾을 수 있는 것이 자연스러워 보이지만, 이는 사실이 아니므로 특이적 다양체를 고려하는 것 또한 중요하다. 나타나는 특이점을 말단 특이점이라고 한다.

같이 보기

• 풍요의 추측
• 최소 유리 표면

참고 문헌

• , Mathematical Society of Japan 
• , Springer-Verlag 
• , Cambridge University Press 
• , Springer-Verlag 
• , American Mathematical Society 
• Kawamata, Yujiro (2001). “Mori theory of extremal rays”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. ISBN 978-1-55608-010-4.