꺾인 현 정리

기하학에서, 꺾인 현 정리(영어: broken chord theorem)는 주어진 원의 연이어진 두 현으로 이루어진 경로의 중점을 찾는 정리이다.

정의

주어진 원의 호 $ACB$의 중점을 $M$라고 하고, $M\neq C$라고 하자. 또한 $M$을 지나는 현 $AC$와 $BC$ 가운데 더 긴 하나의 수선의 발을 $D$라고 하자. 꺾인 현 정리에 따르면, $D$는 두 현 $AC$와 $BC$로 이루어진 경로의 중점이다.^{:1, §1.1, (a)}

증명

아르키메데스의 증명

아르키메데스의 증명은 대략 다음과 같다. 편의상 $AC>AB$라고 하자. $M$의 정의에 의하여 $MA=MB$이다. 선분 $AC$의 $A$에서 $C$ 방향의 연장선이 $M$을 중심으로 하고 선분 $MA$와 $MB$를 반지름으로 하는 원과 점 $E$에서 만난다고 하자. 그렇다면, 원래 원과 새로운 원이 공통으로 갖는 호 $AB$에 의하여

$\angle ACB=\angle M=2\angle E$

이며, 따라서 $\angle CBE=\angle CEB$이다. 즉, 삼각형 $BCE$에서 $BC=CE$가 성립한다. 직선 $MD$는 원의 중심 $M$을 지나는 현 $AE$의 수선이므로, 점 $D$는 현 $AE$의 중점이다. 즉,

$AD=DE=CD+CE=CD+BC$

이다.

패트루노의 증명

그레그 패트루노(영어: Gregg Patruno)의 증명은 대략 다음과 같다. 편의상 $AC>AB$라고 하자. $M$의 정의에 의하여 $MA=MB$이다. 선분 $MC$는 $M$을 중심으로 하고 선분 $MA$와 $MB$를 반지름으로 하는 원의 현이므로, $\angle MAC=\angle MBC$이다. 선분 $AC$ 위에서 $AC'=BC$인 점 $C'$을 잡자. 그렇다면 삼각형 $MAC'$과 $MBC$는 서로 합동이며, 특히 $MC'=MC$이다. 또한 직선 $MD$는 직선 $CC'$의 수선이므로, $C'D=CD$이다. 따라서

$AD=AC'+C'D=BC+CD$

이다.

외부 링크

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Archimedes' midpoint theorem”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.