단순 확대

체론에서 단순 확대(單純擴大, 영어: simple extension)는 하나의 원소로 생성되는 체의 확대이다.

정의

체의 확대 $L/K$가 주어졌다고 하자. 만약 $L=K(\alpha )$가 되는 $\alpha \in L$이 존재한다면, $L/K$를 단순 확대라고 하고, $\alpha$를 원시 원소(原始元素, 영어: primitive element)라고 한다.

성질

유한 확대의 경우, 단순 확대가 될 필요충분조건은 원시 원소 정리(原始元素定理, 영어: primitive element theorem)에 의하여 주어진다.

원시 원소 정리에 따르면, 임의의 유한 확대 $L/K$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $L/K$는 단순 확대이다.
• $L/K$ 사이에, $K\subseteq M\subseteq L$이 되는 체 $M$의 수는 유한하다.

또한, 만약 $L/K$가 유한 분해 가능 확대라면, 그 사이에 존재하는 체들의 수는 유한하며,$L/K$는 항상 단순 확대이다.

예

단순 유한 확대

$\mathbb {C} /\mathbb {R}$는 단순 확대이며, 원시 원소는 $i={\sqrt {-1}}$이다. 이차 수체 $\mathbb {Q} ({\sqrt {d}})/\mathbb {Q}$ 역시 단순 확대이며, 그 원시 원소는 ${\sqrt {d}}$이다.

$\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})/\mathbb {Q}$를 생각하자. 이는, 차수가 4인 유한 확대이며, 또한 표수가 0이므로 분해 가능 확대이다. 따라서, 원시 원소 정리에 따라서 이는 단순 확대이다.

구체적으로, $\alpha ={\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}$으로 적자. 그렇다면 $\{1,\alpha ,\alpha ^{2},\alpha ^{3}\}$은 $\mathbb {Q}$ 위에서 선형 독립이며, 이를 $\{1,{\sqrt {2}},{\sqrt {3}},{\sqrt {6}}\}$ 기저로 전개할 수 있다. 따라서 $\alpha$는 원시 원소이다.

단순 무한 확대

체 $K$의 유리 함수체 $K(x)$는 단순 확대이지만, 무한 확대이다.

단순하지 않은 유한 확대

$\mathbb {F} _{p}(x,y)$의 확대

$\mathbb {F} _{p}(x,y)[X,Y]/(X^{p}-x,Y^{p}-y)$

를 생각하자. 이는 차수 $p^{2}$의 유한 확대이다.

임의의 $a\in \mathbb {F} _{p}(x,y)[X,Y]/(X^{p}-x,Y^{p}-y)$에 대하여, $a^{p}\in \mathbb {F} _{p}(x,y)$이므로, 하나의 원소로 생성되는 확대의 차수는 항상 $p$ 이하이다. 따라서, 이는 단순 확대가 될 수 없다.

외부 링크

• “Finite extension of fields with no primitive element”. 《Math Overflow》 (영어).