닫힌 원순서 집합

순서론에서 닫힌 원순서 집합(-原順序集合, 영어: closed preordered set)이란 모든 사슬이 상계를 갖는 원순서 집합이다.

정의

원순서 집합 $(X,\lesssim )$의 정렬 사슬은 정렬 전순서 집합을 이루는 사슬이다. $X$의 정렬 사슬들의 집합을 $\operatorname {woChain} (X)$로 표기하자.

원순서 집합 $(X,\lesssim )$가 다음 조건을 만족시킨다면, 닫힌 원순서 집합(영어: closed proset)이라고 한다.

임의의 사슬 $C\subseteq X$에 대하여, 만약 $C$가 정렬 전순서 집합이라면, $C$는 상계 $x\in X$를 갖는다.

사실, 모든 전순서 집합은 공종 정렬 전순서 집합을 가지므로, 위 정의에서 "정렬 사슬"을 모든 사슬에 대하여 강화시킬 수 있다.

보다 일반적으로, 순서수 $\lambda \in \operatorname {Ord}$에 대하여, 원순서 집합 $(X,\lesssim )$가 다음 조건을 만족시킨다면, $\lambda$-닫힌 원순서 집합(영어: $\lambda$-closed proset)이라고 한다.^{:214, Definition VII.6.12}

임의의 사슬 $C\subseteq X$에 대하여, 만약 $C$가 정렬 전순서 집합이며 그 순서형이 $\lambda$ 미만이라면, $C$는 상계 $x\in X$를 갖는다.

만약 $\lambda >|X|$라면, $X$가 $\lambda$-닫힌 원순서 집합인 것은 닫힌 원순서 집합인 것과 동치이다.

성질

초른 보조정리

 이 부분의 본문은 초른 보조정리입니다.

초른 보조정리에 따르면, 닫힌 원순서 집합 $(X,\lesssim )$에 대하여, $X=\downarrow \max X$이다. 여기서 $\downarrow$는 하폐포이며, $\max X$는 $X$의 극대 원소들의 집합이다.

부르바키-비트 정리

원순서 집합 $(X,\lesssim )$가 닫힌 원순서 집합이라고 하자. 또한, 자기 함수 $f\colon X\to X$가 다음 조건을 만족시킨다고 하자.

$\forall x\in X\colon f(x)\gtrsim x$

부르바키-비트 정리(Bourbaki-Witt定理, 영어: Bourbaki–Witt theorem)에 따르면, 임의의 $x\in X$에 대하여, $f$는 $\uparrow x$에 속한, 하나 이상의 고정점을 갖는다.

$\exists y\in X\colon f(y)=y\gtrsim x$

초른의 보조 정리를 통한 증명:

임의의 $x\in X$에 대하여, 초른의 보조 정리를 사용하여 $m\in \uparrow x\cap \max X$을 고를 수 있다. 그렇다면 극대 원소의 정의에 의하여 $f(m)\sim m\gtrsim x$이다.

직접적인 증명:

$x\in X$가 주어졌다고 하자. 함수

$g\colon \operatorname {woChain} (X)\to X$

가, $X$ 속의 정렬 사슬을 그 상계에 대응시킨다고 하자 ($g(\varnothing )=x$).

귀류법을 사용하여, $X$가 닫힌 원순서 집합이며, 임의의 $y\gtrsim x$에 대하여 $f(y)\gtrsim y\not \gtrsim f(y)$라고 하자. 그렇다면, 임의의 순서수 $\alpha \in \operatorname {Ord}$에 대하여 다음과 같은 점렬을 재귀적으로 정의하자.

$x_{\alpha }={\begin{cases}f(x_{\beta })&\exists \beta \colon \beta +1=\alpha \\g(\{x_{\beta }\colon \beta <\alpha \})&\nexists \beta \colon \beta +1=\alpha \end{cases}}$

귀류법 가정 아래 $\{x_{\beta }\colon \beta <\alpha \}$는 정렬 전순서 집합이다. 따라서, 이는 순서 보존 함수 $x_{\bullet }\colon \operatorname {Ord} \to X$를 정의한다. 그런데 모든 순서수의 고유 모임 $\operatorname {Ord}$은 집합이 될 수 없으므로, $x_{\alpha +1}\sim f(x_{\alpha })\sim x_{\alpha }$인 $\alpha \in \operatorname {Ord}$가 존재한다. 이는 귀류법 가정과 모순이다.

강제법

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

• ZFC의 표준 추이적 모형 $M$
• 두 집합 $X,Y\in M$
• $\lambda \in \operatorname {Card} ^{M}$. 여기서 $\operatorname {Card} ^{M}\subseteq \operatorname {Ord} \cap M$는 $M$에서 기수가 되는 순서수들의 집합이다.
• 원순서 집합 $P\in M$
• $P$의 부분 집합 $G\subseteq M$

또한, 다음 조건이 성립한다고 하자.

• $M\models (|X|<\lambda )$
• $M\models ($$P$는 $\lambda$-닫힌 원순서 집합이다$)$
• $M\models ($$G$는 $P$의 포괄적 순서 아이디얼이다$)$

그렇다면, $X\to Y$ 함수들은 $M$과 강제법 모형 $M[G]$ 사이에서 절대적이다. 즉, $M[G]$ 속의 임의의 함수 $f\colon X\to Y$는 이미 $M$의 원소이다.^{:214, Theorem 2.6.14}

$(Y^{X})^{M[G]}=(Y^{X})^{M}$

특히, 이와 같은 경우 $M$ 속의, $\lambda$ 이하의 공종도 및 $\lambda$ 이하의 기수들이 보존된다.^{:215, Corollary 2.6.15}

역사

부르바키-비트 정리는 1950년대 말에 니콜라 부르바키와 에른스트 비트가 증명하였다.