도다 격자

응집물질물리학에서 도다 격자(영어: Toda lattice)는 1차원 결정을 나타내는 모형이다. 적분가능계의 대표적인 예로, 솔리톤을 가진다.

역사

도다 모리카즈(일본어: 戸田 盛和)가 1967년 도입하였다.

정의

도다 격자는 1차원 입자들의 사슬로 구성된다. 각 입자의 위치를 $q_{i}$라고 하자. 서로 이웃하는 두 입자 사이의 상호작용은 다음과 같다.

${\ddot {q}}_{i}=\exp(q_{i-1}-q_{i})-\exp(q_{i}-q_{i+1})$

도다 격자는 플라슈카 변수(영어: Flaschka variable)을 사용하여 간단히 풀 수 있다.

$a_{i}={\frac {1}{2}}\exp((q_{i}-q_{i+1})/2)$

$b_{i}=-{\dot {q}}_{i}/2$

그렇다면 운동 방정식은 다음과 같다.

${\dot {a}}_{i}=a_{i}(b_{i+1}-b_{i})$

${\dot {b}}_{i}=2(a_{i}^{2}-a_{i-1}^{2})$

따라서 다음과 같은 럭스 쌍 $(L,P)$가 존재한다. 이들은 힐베르트 공간 $L^{2}(\mathbb {Z} )$ 위의 선형작용소이다.

$(Lf)_{i}=a_{i}f_{i+1}+a_{i-1}f_{i-1}+b_{i}f_{i}$

$(Pf)_{i}=a_{i}f_{i+1}-a_{i-1}f_{i-1}$

이들은 럭스 방정식

${\dot {L}}=[P,L]$

을 만족시키므로, 도다 격자는 적분가능계이다. 도다 격자의 운동 상수들은 $L$의 고윳값들이다.

각주

• Krüger, Helge; Gerald Teschl (2009). “Long-time asymptotics of the Toda lattice for decaying initial data revisited”. 《Rev. Math. Phys.》 21 (1): 61–109. doi:10.1142/S0129055X0900358X. MR 2493113. 
• Teschl, Gerald (2000). 《Jacobi Operators and Completely Integrable Nonlinear Lattices》. Providence: Amer. Math. Soc. ISBN 0-8218-1940-2. MR 1711536. 
• Teschl, Gerald (2001). “Almost everything you always wanted to know about the Toda equation”. 《Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung》 103 (4): 149–162. MR 1879178. 
• Integrable Hamiltonians with Exponential Potential, Eugene Gutkin, Physica 16D (1985) 398-404.
• Toda, Morikazu (1989). 《Theory of Nonlinear Lattices》 2판. Berlin: Springer. doi:10.1007/978-3-642-83219-2. ISBN 978-0-387-10224-5. MR 0971987.