들리뉴-베일린손 코호몰로지

기하학에서 들리뉴-베일린손 코호몰로지(Deligne-Бе́йлинсон cohomology, 영어: Deligne–Beilinson cohomology) 또는 들리뉴 코호몰로지는 접속을 갖는 원군 $n$-주다발을 나타내는, 미분 형식으로 구성된 공사슬 복합체로서 정의되는 코호몰로지 이론이다. 복소다양체와 매끄러운 다양체에 적용될 수 있다.

정의

매끄러운 다양체 $X$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 아벨 군 사슬 복합체를 정의할 수 있다.

${\mathcal {C}}^{\infty }(X,\operatorname {U} (1)){\xrightarrow {\frac {\mathrm {d} \ln }{2\pi \mathrm {i} }}}\Omega ^{1}(X){\xrightarrow {\mathrm {d} }}\Omega ^{2}(M){\xrightarrow {\mathrm {d} }}\Omega ^{2}(M){\xrightarrow {\mathrm {d} }}\dotsb {\xrightarrow {\mathrm {d} }}\Omega ^{n}(X)$

여기서

• $n$은 임의의 자연수이다. (특히, $X$의 차원과는 관련이 없다.)
• ${\mathcal {C}}^{\infty }(X,\operatorname {U} (1))$는 $X$를 정의역으로, 원군 U(1)을 공역으로 하는 매끄러운 함수의 점별 곱셈군이다.
• $\Omega ^{k}(X)$는 $X$의 $k$차 (실수) 미분 형식의 실수 벡터 공간이다.
• $\mathrm {d} \colon \Omega ^{\bullet }(X)\to \Omega ^{\bullet +1}(X)$는 $X$ 위의 미분 형식의 외미분이다.
• $(1/2\pi \mathrm {i} )\mathrm {d} \ln \colon {\mathcal {C}}^{\infty }(X,\operatorname {U} (1))\to \Omega ^{1}(X)$는 다음과 같다. 우선, 원군을 $\operatorname {U} (1)=\{z\in \mathbb {C} \colon |z|=1\}$으로 여기면, 충분히 작은 열린집합 $U\subseteq X$에서, 함수 $f\upharpoonright U\colon U\to \operatorname {U} (1)$의 자연 로그 $\ln f$는 분지 절단 없이 매끄럽게 정의될 수 있다. 이 분지에 대하여, $(1/2\pi \mathrm {i} )\log f\colon U\to \mathbb {R}$는 실수 값의 매끄러운 함수이다. 물론, 이는 선택된 분지에 의존하며, 분지를 바꾸면 그 값은 상수 $2\pi$씩 바뀌게 된다. 그러나 그 미분 $-\mathrm {i} \mathrm {d} \log f\in \Omega ^{1}(X)$은 분지에 의존하지 않는다. 따라서, 이들을 짜깁기하여 1차 미분 형식 $(1/2\pi \mathrm {i} )\mathrm {d} \ln f\in \Omega ^{1}(X)$을 정의할 수 있다.

이 공사슬 복합체를 들리뉴-베일린손 공사슬 복합체(영어: Deligne–Beilinson cochain complex)라고 하며, 그 코호몰로지를 $n$차 들리뉴-베일린손 코호몰로지라고 한다.

위 묘사는 (실수) 매끄러운 다양체에 대한 경우이다. 이 밖에도, 복소다양체에 대한 경우가 존재한다. 이 경우, $k$차 미분 형식 대신 $(k,0)$차 복소 미분 형식을 사용하며, 외미분 $\mathrm {d}$ 대신 정칙 외미분 $\partial \colon \Omega ^{\bullet ,\bullet }(-)\to \Omega ^{\bullet +1,\bullet }(-)$을 사용하며, 첫째 항은 복소다양체 $X$ 위의, $\mathbb {C} ^{\times }=\mathbb {C} \setminus \{0\}$ 값의 정칙 함수들의 곱셈군이다. (이는 구조층 ${\mathcal {O}}_{X}$의 가역원층 ${\mathcal {O}}_{X}^{\times }$의 단면에 해당한다.)

$\Gamma ({\mathcal {O}}_{X}^{\times };X){\xrightarrow {\mathrm {d} \ln }}\Omega ^{1,0}(X){\xrightarrow {\partial }}\Omega ^{2,0}(X){\xrightarrow {\partial }}\dotsb$

성질

매끄러운 다양체 $X$ 위의 $n$차 들리뉴-베일린손 코호몰로지 $\operatorname {H} _{\operatorname {conn} }^{n}(X)$는 $X$ 위의, 접속을 갖는 원군 $(n-1)$-주다발을 나타낸다.

$\operatorname {H} _{\operatorname {conn} }^{n}(X)\cong [X,\mathrm {B} ^{n}\operatorname {U} (1)]$

다른 코호모로지 코호몰로지와의 관계

들리뉴-베일린손 공사슬 복합체는 드람 복합체와 유사하지만, 첫째 항이 다르다. 이는 매우 중요한 역할을 한다.

마찬가지로, 표준적인 망각 함자

$\operatorname {H} _{\operatorname {conn} }^{n}(X)\to \operatorname {H} _{\operatorname {sing} }^{n}(X;\mathbb {Z} )$

가 존재한다. (여기서 공역은 특이 코호몰로지이다.)

보다 일반적으로, 완전열

$0\to \Omega _{\text{int}}^{n-1}(X)\to \Omega ^{n-1}(X)\to \operatorname {H} _{\operatorname {conn} }^{n}(X)\to \operatorname {H} _{\text{sing}}^{n}(X;\mathbb {Z} )\to 0$

이 존재한다. 여기서, 사상 $\Omega ^{n-1}(X)\to \operatorname {H} _{\operatorname {conn} }^{n}(X)$은 원군 $n$-주다발 위의 접속이 $(n-1)$차 미분 형식으로 정의됨을 뜻하며, 사상 $\Omega _{\operatorname {int} }^{n-1}(X)\to \Omega ^{n-1}(X)$은 같은 접속을 나타내는 두 $(n-1)$차 미분 형식의 차이는 정수 주기(영어: integral period)의 미분 형식임을 뜻한다.

또한, 완전열

$\operatorname {H} ^{n}(X;\operatorname {U} (1))\to \operatorname {H} _{\operatorname {conn} }^{n}(X)\to \Omega ^{n}(X)$

이 존재한다. 여기서

• $\operatorname {H} _{\operatorname {conn} }^{n}(X)\to \Omega ^{n}(X)$은 접속을 갖는 $n$-주다발의 곡률이 $n$차 미분 형식임을 뜻한다.
• $\operatorname {H} ^{n}(X;\operatorname {U} (1))\to \operatorname {H} _{\operatorname {conn} }^{n}(X)$은 같은 곡률을 갖는 두 $n$-주다발의 차는 평탄한 $n$-주다발임을 뜻한다.

역사

피에르 들리뉴가 1971년에 복소다양체에 대하여 도입하였다. 이후 1993년에 장뤼크 브릴린스키(프랑스어: Jean-Luc Brylinski)가 이 이론이 매끄러운 다양체에 대해서도 잘 작동한다는 것을 밝혔다.^:§5

참고 문헌

• Esnault, Hélène; Viehweg, Eckart (1988). 〈Deligne–Beilinson cohomology〉 (PDF). 《Beilinson’s conjectures on special values of L-functions》. Perspectives in Mathematics (영어) 4. Academic Press. 43–91쪽. ISBN 0-12-581120-9. 
• Bunke, Ulrich (2012). “Differential cohomology” (영어). arXiv:1208.3961. Bibcode:2012arXiv1208.3961B. 

외부 링크

• “Deligne cohomology”. 《nLab》 (영어). 
• “Ordinary differential cohomology”. 《nLab》 (영어).