등변 미분 형식

미분기하학에서 등변 미분 형식(等變微分形式, 영어: equivariant differential form)은 리 군의 작용과 호환되는, 하나의 리 대수 변수에 대한 미분 형식 계수의 다항식이다. 이를 사용하여, 드람 코호몰로지와 유사하게 등변 코호몰로지를 계산할 수 있다.

정의

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

• 매끄러운 다양체 $M$
• 리 군 $G$. 그 리 대수가 $\operatorname {Lie} (G)={\mathfrak {g}}$라고 하자.
• $G$의 $M$ 위의 매끄러운 왼쪽 작용 $(\cdot )\colon G\times M\to M$.

그렇다면, $M$ 위의 $G$-등변 미분 형식 $\alpha$는 다음 벡터 공간의 원소이다.

$\alpha \in \operatorname {Sym} [{\mathfrak {g}}^{*}]\otimes _{\mathbb {C} }\Omega (M;\mathbb {C} )=\mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]\otimes _{\mathbb {C} }\Omega (M;\mathbb {C} )$

여기서 ${\mathfrak {g}}^{*}$는 ${\mathfrak {g}}$의 쌍대 공간이며, $\Omega (M;\mathbb {C} )=\Omega (M)\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C}$은 $M$ 위의 복소수 계수 미분 형식들의 복소수 벡터 공간이다. 이러한 원소는 다항식 사상

$\alpha \colon {\mathfrak {g}}\to \Omega (M;\mathbb {C} )$

으로 간주할 수 있는데, 이 경우 $\alpha$는 다음 조건을 만족해야 한다.^{:208, §7.1}

$\alpha \left(\operatorname {Ad} (g)x\right)=g\cdot \alpha (x)\qquad \forall g\in G,\;x\in {\mathfrak {g}}$

여기서 $\operatorname {Ad} (g)\colon G\to \operatorname {GL} ({\mathfrak {g}})$는 $G$의 딸림표현이다.

연산

등변 미분 형식 $\alpha \in \left(\operatorname {Sym} [{\mathfrak {g}}^{*}]\otimes _{\mathbb {C} }\Omega (M;\mathbb {C} )\right)^{G}$ 위에는 다음과 같은 등변 외미분(等變外微分, 영어: equivariant exterior derivative)을 정의할 수 있다.

$\mathrm {d} _{\mathfrak {g}}\alpha \colon x\mapsto \mathrm {d} (\alpha (x))-x^{\sharp }\lrcorner (\alpha (x))$

여기서

• $\mathrm {d}$는 (일반) 외미분이다.
• $\lrcorner$는 벡터장과 미분 형식의 내부곱이다.
• $x^{\sharp }\in \Gamma (M)$는 $G$의 왼쪽 작용을 생성하는 벡터장이다.

이는 (일반 외미분과 마찬가지로)

$\mathrm {d} _{\mathfrak {g}}\circ \mathrm {d} _{\mathfrak {g}}=0$

을 만족시키며, 이에 따라 코호몰로지를 취할 수 있다. 이에 대한 코호몰로지는 등변 코호몰로지와 일치한다.

$\operatorname {H} _{G}^{\bullet }(X;\mathbb {C} )={\frac {\ker \mathrm {d} _{\mathfrak {g}}}{\operatorname {im} \mathrm {d} _{\mathfrak {g}}}}$

또한, 이를 통해 등변 완전 미분 형식(等變完全微分形式, 영어: equivariantly exact differential form) 및 등변 닫힌 미분 형식(等變-微分形式, 영어: equivariantly closed differential form)을 정의할 수 있다.^{:209, §7.1}

역사

등변 미분 형식의 개념은 앙리 카르탕이 도입하였다.^{:§6, 6–9:209, §7.1:§2.4}