러브파 (Love wave)는 선형탄성 학에서 수평으로 편광 된 표면파 를 의미한다. 어거스터스 에드워드 허그 러브 교수의 이름을 따서 붙어진 파형이다. 러브파는 한쪽은 탄성계 공간이며 다른 쪽은 아무것도 없는 진공 상태의 표면인 탄성층을 통해 유도되는 수많은 S파 가 간섭 을 일으키며 생겨난다. 지진학 에서는 러브파를 Q파 (Q waves)라고도 부르며 지진 이 일어날 때 땅을 수평으로 흔들리게 만드는 표면 지진파 이다. 지진학에서는 P파 , S파 다음으로 오는 파동으로 알려져 있다. 러브파는 횡파인 S파의 속도가 아래에서보다 표면 가까운 위에서 더 느릴 때만 발생하는 파동이다. 그러므로 표면에서 거리가 멀어질수록 러브파의 진폭은 기하급수적으로 줄어든다.
러브파의 진행 방향과 파형의 모습. 러브파는 표면에만 진행하며 매질을 따라 전파가 되는 표면파이다. 러브파는 1911년 어거스터스 러브 교수가 처음 수학적으로 그 존재를 예측하였다.[1] [2] [3]
기초 이론
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선형탄성 물질의 선형 운동량 보존은 아래와 같이 쓸 수 있다.[4] 물체력 은 0으로 가정하고 직접적인 텐서 표기법만 사용한다.
∇
⋅
(
C
:
∇
u
)
=
ρ
u
¨
{\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot ({\mathsf {C}}:{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} )=\rho ~{\ddot {\mathbf {u} }}}
여기서
u
{\displaystyle \mathbf {u} }
변위 이고
C
{\displaystyle {\mathsf {C}}}
탄성 강도 텐서 이다. 러브파
u
{\displaystyle \mathbf {u} }
직교 좌표계 (
x
,
y
,
z
{\displaystyle x,y,z}
탄성 특성이
z
{\displaystyle z}
라메 상수 와 밀도 는
λ
(
z
)
,
μ
(
z
)
,
ρ
(
z
)
{\displaystyle \lambda (z),\mu (z),\rho (z)}
t
{\displaystyle t}
(
u
,
v
,
w
)
{\displaystyle (u,v,w)}
u
(
x
,
y
,
z
,
t
)
=
0
,
v
(
x
,
y
,
z
,
t
)
=
v
^
(
x
,
z
,
t
)
,
w
(
x
,
y
,
z
,
t
)
=
0
.
{\displaystyle u(x,y,z,t)=0~,~~v(x,y,z,t)={\hat {v}}(x,z,t)~,~~w(x,y,z,t)=0\,.}
즉 이 파는
(
x
,
z
)
{\displaystyle (x,z)}
v
^
(
x
,
z
,
t
)
{\displaystyle {\hat {v}}(x,z,t)}
파수
k
{\displaystyle k}
진동수
ω
{\displaystyle \omega }
고조파 의 중첩 형태로 표현할 수 있다. 여기서 가장 단순한 고조파인 다음 파동만 생각해 보자.
v
^
(
x
,
z
,
t
)
=
V
(
k
,
z
,
ω
)
exp
[
i
(
k
x
−
ω
t
)
]
{\displaystyle {\hat {v}}(x,z,t)=V(k,z,\omega )\,\exp[i(kx-\omega t)]}
여기서
i
=
−
1
{\displaystyle i={\sqrt {-1}}}
변형력 은 다음과 같다.
σ
x
x
=
0
,
σ
y
y
=
0
,
σ
z
z
=
0
,
τ
z
x
=
0
,
τ
y
z
=
μ
(
z
)
d
V
d
z
exp
[
i
(
k
x
−
ω
t
)
]
,
τ
x
y
=
i
k
μ
(
z
)
V
(
k
,
z
,
ω
)
exp
[
i
(
k
x
−
ω
t
)
]
.
{\displaystyle \sigma _{xx}=0~,~~\sigma _{yy}=0~,~~\sigma _{zz}=0~,~~\tau _{zx}=0~,~~\tau _{yz}=\mu (z)\,{\frac {dV}{dz}}\,\exp[i(kx-\omega t)]~,~~\tau _{xy}=ik\mu (z)V(k,z,\omega )\,\exp[i(kx-\omega t)]\,.}
여기서 추정된 변위를 운동량 보존 방정식에 대입하면 다음과 같은 단순한 방정식으로 정리할 수 있다.
d
d
z
[
μ
(
z
)
d
V
d
z
]
=
[
k
2
μ
(
z
)
−
ω
2
ρ
(
z
)
]
V
(
k
,
z
,
ω
)
.
{\displaystyle {\frac {d}{dz}}\left[\mu (z)\,{\frac {dV}{dz}}\right]=[k^{2}\,\mu (z)-\omega ^{2}\,\rho (z)]\,V(k,z,\omega )\,.}
러브파의 경계조건은 자유표면
(
z
=
0
)
{\displaystyle (z=0)}
견인력 (Traction)이 반드시 0이어야 한다는 것이다. 또한 층 매질에서 응력 성분
τ
y
z
{\displaystyle \tau _{yz}}
V
{\displaystyle V}
미분방정식 을 2계 1차 미분방정식으로 표현하기 위해 응력 성분을 다음과 같이 하자.
τ
y
z
=
T
(
k
,
z
,
ω
)
exp
[
i
(
k
x
−
ω
t
)
]
{\displaystyle \tau _{yz}=T(k,z,\omega )\,\exp[i(kx-\omega t)]}
그럼 다음과 같이 운동량 방정식의 1차 방정식 형태를 얻게 된다.
d
d
z
[
V
T
]
=
[
0
1
/
μ
(
z
)
k
2
μ
(
z
)
−
ω
2
ρ
(
z
)
0
]
[
V
T
]
.
{\displaystyle {\frac {d}{dz}}{\begin{bmatrix}V\\T\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&1/\mu (z)\\k^{2}\,\mu (z)-\omega ^{2}\,\rho (z)&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}V\\T\end{bmatrix}}\,.}
위 방정식을 고윳값 문제로 풀면 수치해석학 적으로 고유함수 를 찾을 수 있는 방정식이 된다.
같이 보기
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참고 문헌
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A. E. H. Love, "Some problems of geodynamics", first published in 1911 by the Cambridge University Press and published again in 1967 by Dover, New York, USA. (Chapter 11: Theory of the propagation of seismic waves) 
![{\displaystyle {\hat {v}}(x,z,t)=V(k,z,\omega )\,\exp[i(kx-\omega t)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4934aabe0934acf9fe5952e8b6a6d54c676bcc7b)
![{\displaystyle \sigma _{xx}=0~,~~\sigma _{yy}=0~,~~\sigma _{zz}=0~,~~\tau _{zx}=0~,~~\tau _{yz}=\mu (z)\,{\frac {dV}{dz}}\,\exp[i(kx-\omega t)]~,~~\tau _{xy}=ik\mu (z)V(k,z,\omega )\,\exp[i(kx-\omega t)]\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2992bba4ff7eb58d9994ebb822048c59c69ec9d3)
![{\displaystyle {\frac {d}{dz}}\left[\mu (z)\,{\frac {dV}{dz}}\right]=[k^{2}\,\mu (z)-\omega ^{2}\,\rho (z)]\,V(k,z,\omega )\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1d27f29793193d2104148cd44eae8c82c890fd2)
![{\displaystyle \tau _{yz}=T(k,z,\omega )\,\exp[i(kx-\omega t)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3fd9af4878c2a3419cfebd8f32ced2e4b394799c)
