레비 확률 과정

확률론에서 레비 확률 과정(Lévy確率過程, 영어: Lévy stochastic process)은 모든 증분들이 서로 독립이며 정상적이며, 또한 어떤 연속성 조건을 만족시키는 확률 과정이다.

정의

확률 연속 확률 과정

$S$가 균등 위상에 대한 보렐 가측 공간으로 간주한 어떤 균등 공간이라고 하자. $T$가 어떤 위상 공간이라고 하자.

확률 과정 $(X_{t}\colon \Omega \to S)_{t\in T}$이 다음 조건을 만족시킨다면, $X$를 확률 연속 확률 과정(確率連續確率過程, 영어: stochatically continous stochastic process)이라고 한다.

• $S$의 임의의 측근 $\sim _{\epsilon }$ 및 임의의 $t\in T$에 대하여, $\textstyle \lim _{s\to t}\Pr(X_{s}\nsim _{\epsilon }X_{t})=0$이다.

예를 들어, 만약 $S=\mathbb {R} ^{d}$가 유클리드 공간일 경우, 이 조건은 다음과 같다.

• 임의의 $\epsilon >0$ 및 $t\in [0,\infty )$에 대하여, $\textstyle \lim _{s\to t}\Pr(\|X_{s}-X_{t}\|>\epsilon )=0$

무한 분해 가능 과정

$S$가 보렐 가측 공간으로 여겨진 위상군이라고 하자. $(T,\leq )$가 전순서가 주어진 가환 모노이드(예를 들어, $[0,\infty )$, $\mathbb {N}$, $\mathbb {R}$, $\mathbb {Z}$ 등)라고 하자.

확률 과정 $(X_{t}\colon \Omega \to S)_{t\in T}$이 다음 조건을 만족시킨다면, $X$를 무한 분해 가능 확률 과정(無限分解可能確率過程, 영어: infinitely divisible stochastic process)이라고 한다.

• (증분의 독립성) 임의의 $t_{0}\leq t_{1}\leq t_{2}\leq \dotsb \leq t_{n}$에 대하여, $\{X_{t_{0}}-X_{t_{1}},\dotsc ,X_{t_{n-1}}-X_{n}\}$은 서로 독립인 확률 변수의 족이다.
  • 특히, $t_{i}=t_{i+1}$일 경우, $X_{t_{i}}^{-1}X_{t_{i+1}}=0$은 상수이므로 자명하게 모든 확률 변수에 대하여 독립이다.
• (증분의 정상성) 임의의 $s\in T$에 대하여, $X_{t}^{-1}X_{s+t}$의 확률 분포는 $X_{s}$의 확률 분포와 같다.
  • 특히, $s=t$일 경우, $\Pr(X_{0}=1_{S})=1$이다.

여기서 ‘증분’(영어: increment)이란 $s,t\in T$에 대한 확률 변수 $X_{t}^{-1}X_{t+s}$를 뜻한다. 아벨 군에서 군 연산을 덧셈으로 표기할 경우, 이는 $X_{t+s}-X_{t}$와 같이 표기된다.

레비 과정

모든 위상군은 표준적인 균등 공간 구조를 갖는다.

위상군 $S$를 표본 공간으로 삼고, 음이 아닌 실수 집합 $[0,\infty )$를 지표 공간으로 삼은 확률 과정

$(X_{t}\colon \Omega \to S)_{t\in [0,\infty )}$

이 확률 연속 확률 과정이자 무한 분해 가능 확률 과정이라면, 레비 확률 과정이라고 한다.

성질

모든 레비 확률 과정은 마르코프 과정이다.

레비-힌친 공식

$\mathbb {R}$ 값의 레비 확률 과정의 확률 분포는 다음과 같은 특성 함수에 의하여 주어진다.

$\mathbb {E} \left(\exp(\mathrm {i} \theta X(t))\right)=\exp \left(t\left(a\mathrm {i} \theta -{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\theta ^{2}+\int _{\mathbb {R} \setminus \{0\}}\left(\exp(\mathrm {i} \theta x)-1-\mathrm {i} \theta x[|x|<1]\right)\Pi (\mathrm {d} x)\right)\right)$

여기서

• $a\in \mathbb {R}$는 상수이다. 이는 레비 확률 과정의 선형 이동을 나타낸다.
• $\sigma ^{2}\in [0,\infty )$는 상수이다. 이는 레비 확률 과정의 위너 확률 과정 성분의 분산을 나타낸다.
• $[\dotso ]$는 아이버슨 괄호이다.
• $\Pi$는 $\mathbb {R} \setminus \{0\}$ 위의 시그마-유한 측도이다.

즉, 레비 확률 과정의 확률 분포는 $(a,\sigma ^{2},\Pi )$에 의하여 결정된다.

예

위너 확률 과정은 레비 확률 과정이다. 이 경우 $\Pi$는 거의 어디서나 0이 된다.

역사

폴 피에르 레비의 이름을 땄다.

참고 문헌

• Applebaum, David (2004년 12월). “Lévy processes — from probability to finance and quantum Groups” (PDF). 《Notices of the American Mathematical Society》 (영어) 51 (11): 1336–1347. ISSN 1088-9477. 
• Applebaum, David (2004). 《Lévy Processes and Stochastic Calculus》 (영어). Cambridge University Press. 
• Sato, Ken-Iti (2011). 《Lévy processes and infinitely divisible distributions》 (영어). Cambridge University Press. ISBN 978-0521553025. 
• Kyprianou, Andreas E. (2014). 《Fluctuations of Lévy processes with applications. Introductory lectures》 2판. Springer-Verlag. ISBN 978-3642376313. 

외부 링크

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Lévy process”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.