류스테르니크-시니렐만 범주

대수적 위상수학에서 류스테르니크-시니렐만 범주(Люстерник-Шнирельман範疇, 영어: Lusternik–Schnirelmann category) 또는 LS 범주(LS-category)는 위상 공간에 대한 자연수 값의 호모토피 불변량이다. 거칠게 말하면 공간이 얼마나 복잡한지를 나타내는 척도 중 하나라고 할 수 있다.

정의

류스테르니크-시니렐만 범주의 개념은 여러 가지로 정의될 수 있으며, 이 정의들은 CW 복합체와 호모토피 동치인 위상 공간에 대해서는 서로 일치한다.

열린 덮개를 통한 정의

점을 가진 공간 $(X,\bullet _{X})$가 주어졌으며, $X$가 CW 복합체와 호모토피 동치이며, $\bullet _{X}\hookrightarrow X$가 쌍대올뭉치라고 하자.

$(X,\bullet )$의 류스테르니크-시니렐만 범주 $\operatorname {cat} (X)$를 다음 조건을 만족시키는 최소의 자연수 $\kappa$로 정의한다.

X를 덮는 어떤 $(\kappa +1)$ 개의 열린 덮개 $(U_{i},\bullet _{X})_{0\leq i\leq \kappa }$가 존재해서, 모든 포함 함수 $U_{i}\hookrightarrow X$가 상수 함수와 호모토피 동치이다.

만약 위와 같은 자연수가 존재하지 않는다면, $\operatorname {cat} (X)=\infty$로 놓는다.

일부 문헌에서는 류스테르니크-시니렐만 범주를 $\kappa$ 대신 $(\kappa +1)$로 정의한다.

화이트헤드의 정의

영 대상(시작 대상이자 끝 대상인 대상)을 갖는 모형 범주 ${\mathcal {C}}$가 주어졌다고 하자. 이 모형 범주에서, 다음과 같은 성질을 생각할 수 있다.

육면체 공리(영어: cube axiom): 임의의 정육면체 꼴의 호모토피 가환 그림

에서, 만약 윗면({y}–{x,y}–{x,y,z}–{y,z})이 호모토피 밂이며 모든 네 옆면들이 호모토피 당김이라면, 밑면 (ø–{x}–{x,z}–{z}) 역시 호모토피 밂이다.

(육면체 공리는 점을 가진 공간의 모형 범주 $\operatorname {Top} \backslash \bullet$의 경우 성립한다. 육면체 공리는 자기 쌍대 조건이 아니다. 예를 들어 점을 가진 공간의 범주의 반대 범주인 $(\operatorname {Top} \backslash \bullet )^{\operatorname {op} }$는 $\operatorname {Top} \backslash \bullet$와 마찬가지로 영 대상을 갖는 모형 범주지만 육면체 공리는 성립하지 않는다.)

이러한 모형 범주에서, 올대상이자 쌍대올대상인 대상 $X$의 $n$차 부케가르니(프랑스어: bouquet garni) 또는 뚱뚱한 쐐기합(영어: fat wedge) $T^{n}\to X^{n}$은 다음과 같이 재귀적으로 정의되는 대상이다.

• $T_{1}\simeq \bullet$이다.
• $T_{n}\to X^{n}$이 주어졌을 때, $T_{n+1}\to X^{n+1}$은 모형 범주 ${\mathcal {C}}/X^{n+1}$에서의, 다음과 같은 꼴의 호모토피 밂이다.

${\begin{matrix}T_{n}\times \bullet &\to &X^{n}\times \bullet \\\downarrow &&\downarrow \\T_{n}\times X&\to &T_{n+1}\end{matrix}}$

특히, 다음이 성립한다.

$T_{2}\simeq X\vee X$ (스스로와의 쌍대곱)

점을 가진 공간의 범주에서, 부케가르니는 구체적으로 다음과 같은 꼴로 주어진다.

$T_{n}=\bigcup _{i=0}^{n-1}X^{i}\times \{\bullet \}\times X^{n-i-1}\subseteq X^{n}$

즉, 이는 $T_{n}$은 곱공간 $X^{n}$에서, 적어도 한 좌표가 밑점 $\bullet$이 되는 점들로 구성된 부분 공간이다.

$(X,\bullet )$의 류스테르니크-시니렐만 범주는 다음 그림을 호모토피 가환 그림으로 만드는 연속 함수 $f\colon X\to T_{n}$가 존재하는 최소의 자연수 $n$이다.

${\begin{matrix}X&{\overset {f}{\to }}&T_{n}\\\|&&\downarrow \\X&{\underset {\operatorname {diag} }{\to }}&X^{n}\end{matrix}}$

여기서 $\operatorname {diag} \colon X\to X^{n}$은 대각 사상이다.

가네아의 정의

영 대상을 가지며 육면체 공리를 따르는 모형 범주 ${\mathcal {C}}$를 생각하자.

올대상이자 쌍대올대상인 대상 $X$에 대하여, 가네아 구성은 다음과 같은 올뭉치들의 가환 그림이다.

${\begin{matrix}F_{0}&\hookrightarrow &G_{0}&\twoheadrightarrow &X\\\downarrow &&\downarrow &&\|\\F_{1}&\hookrightarrow &G_{1}&\twoheadrightarrow &X\\\downarrow &&\downarrow &&\|\\F_{2}&\hookrightarrow &G_{2}&\twoheadrightarrow &X\\\downarrow &&\downarrow &&\|\\\vdots &&\vdots &&\vdots \end{matrix}}$

여기서

• $G_{0}\simeq \bullet$이다.
• 다음과 같은 네모들은 호모토피 당김이다. (즉, $F_{n}$은 올뭉치 $G_{n}\twoheadrightarrow X$의 호모토피 올이다.)

  ${\begin{matrix}F_{n}&\hookrightarrow &G_{n}\\\downarrow &&\downarrow \\\bullet &\to &X\end{matrix}}$

• 다음과 같은 네모들은 모형 범주 ${\mathcal {C}}/X$에서의 호모토피 밂이다.

  ${\begin{matrix}F_{n}&\hookrightarrow &G_{n}\\\downarrow &&\downarrow \\\bullet &\to &G_{n+1}\end{matrix}}$

이를 가네아 올뭉치(영어: Ganea fibrations)라고 한다. 이제, $X$의 류스테르니크-시니렐만 범주 $\operatorname {cat} (X)$는

$\pi _{n}\colon G_{n}\to X$

이 호모토피 범주에서 오른쪽 역사상(즉, 단면) $X\to G_{n}$을 가질 수 있는 최소의 자연수 $n$이다.

점을 가진 공간의 범주에서, $G_{0}$은 경로 공간 $\operatorname {Path} (X)=\hom _{\operatorname {Top} \backslash \bullet }(\mathbb {I} ,X)$으로 잡을 수 있으며, 그 호모토피 올은 고리 공간 $F_{0}=\Omega X=\hom _{\operatorname {Top} \backslash \bullet }(\mathbb {S} ^{1},X)$이다. 이 경우

$F_{n}=(\Omega X)^{\star n}$

으로 잡을 수 있다. (여기서 $\star$는 두 위상 공간의 이음이다.) 또한, 이 경우

$G_{1}=\Sigma \Omega X$

로 잡을 수 있다. 여기서 $\Sigma$는 축소 현수이다.

정의 사이의 관계

영대상을 가지며 육면체 공리를 따르는 모형 범주가 주어질 경우, 올대상이자 쌍대올대상인 대상에 대하여 류스테르니크-시니렐만 범주의 화이트헤드 정의와 가네아 정의는 서로 일치한다. 또한 그 범주가 $\operatorname {Top} \backslash \bullet$일 경우, CW 복합체와 호모토피 동치인 위상 공간에 대하여 열린 덮개를 통한 정의와 일치한다.

성질

류스테르니크-시니렐만 범주는 호모토피 불변량이다. 즉, 서로 호모토피 동치인 두 위상 공간은 같은 류스테르니크-시니렐만 범주를 갖는다.

연산에 대한 호환

다음이 성립한다. (여기서 $\vee$는 점을 가진 공간의 쐐기합이다.)

$\operatorname {cat} (X\vee Y)=\max\{\operatorname {cat} (X),\operatorname {cat} (Y)\}$^{:14, Proposition 1.27(2), §1.4}

$\operatorname {cat} (X\times Y)\leq \operatorname {cat} (X)+\operatorname {cat} (Y)$^{:18, Theorem 1.37, §1.5}

만약 사상 $f\colon X\to Y$가 호모토피 오른쪽 역사상을 갖는다면, $\operatorname {cat} (X)\geq \operatorname {cat} (Y)$이다.^{:15, Lemma 1.29, §1.4}

올뭉치

$F\hookrightarrow E\twoheadrightarrow B$

에 대하여,

$\operatorname {cat} (E)\leq (\operatorname {cat} (F)+1)(\operatorname {cat} (B)+1)-1$

이다.^{:19, Theorem 1.41, §1.5}

임의의 점을 가진 공간 $(Z,\bullet )$의, 크기 2의 열린 덮개

$X,Y\subseteq Z$

$\bullet \in X\cap Y$

$X\cup Y=Z$

가 주어졌다고 하면, 다음이 성립한다.

$\operatorname {cat} (X\cup Y)\leq \operatorname {cat} (X)+\operatorname {cat} (Y)+1$^{:14, Proposition 1.27(1), §1.4}

차원과의 관계

위상 공간 $X$가 $(k-1)$-연결 공간이라고 하자. 즉,

$\pi _{i}(X)=0\qquad \forall i\in \{0,1,\dotsc ,k-1\}$

라고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.

$\operatorname {cat} (X)\leq {\frac {\dim X}{k}}$

여기서 $\dim X$는 $X$의 르베그 덮개 차원이다. (다양체의 경우 이는 물론 다양체 차원과 일치한다.)

모스 이론과의 관계

연결 콤팩트 매끄러운 다양체 $M$ 위의 연속 미분 가능 함수 $f\colon M\to \mathbb {R}$의 임계점의 집합

$\operatorname {Crit} (f)=\{x\in M\colon \mathrm {d} f=0\}$

의 크기 − 1은 류스테르니크-시니렐만 범주의 상계를 이룬다.^{:Theorem 1.15}

$|\operatorname {Crit} (f)|\geq \operatorname {cat} (M)+1$

증명 개략:

$\operatorname {Crit} (f)=\infty$일 경우엔 부등식이 자명하게 성립하므로 $f$가 유한 개의 임계점만을 가질 경우만 확인하면 충분하다.

$M$에 임의의 리만 다양체 구조를 주고, $f$의 기울기 흐름

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\phi _{t}(x)=\mathrm {d} ^{\#}f|_{\phi _{t}(x)}$

을 생각하자. 그렇다면, 각 임계점 $c\in \operatorname {Crit} f$에 대하여

$W_{c}=\left\{x\in M\colon \lim _{t\to \infty }\phi _{t}(x)=c\right\}$

를 정의하자. $M$이 콤팩트 공간이며 임계점들이 유한 개 밖에 없기 때문에, 이들은 $M$의 덮개를 정의한다. 그 원소들은 닫힌집합이며, 또한 기울기 흐름의 존재에 의하여 $W_{c}\hookrightarrow M$은 모두 상수 함수 $W_{c}\to \{c\}\subseteq M$와 호모토피 동치이다.

이제, 각 $W_{c}$에 대하여, ${\tilde {W}}_{c}\supseteq W_{c}$이며, 호모토피 성질을 보존하는 열린 근방 ${\tilde {W}}_{c}$을 찾을 수 있음을 보일 수 있다.^{:Proposition 2.5(ⅰ)} 즉, $({\tilde {W}}_{c})_{c\in \operatorname {Crit} (f)}$는 류스테르니크-시니렐만 범주의 정의에 등장하는 조건을 만족시키는 열린 덮개이다.

예를 들어, 초구 $\mathbb {S} ^{n}$을 유클리드 공간 $\mathbb {R} ^{n+1}$ 위의 단위구로 놓았을 때, 높이 함수는 두 개의 임계점(북극과 남극)을 갖는다. 초구의 류스테르니크-시니렐만 범주는 1이므로, 등호가 성립한다.

이 성질은 모스 이론과 유사하다. 그러나 모스 이론은 모스 함수의 임계점의 수의 하한에 대한 것이지만, 류스테르니크-시니렐만 범주는 모든 연속 미분 가능 함수의 임계점의 수에 대한 것이다.

코호몰로지 길이와의 관계

일반적으로, 위상 공간 $X$의, $n$개의 축소 특이 코호몰로지류들의 합곱이 0이 아니라고 하자.

$\alpha _{1},\dotsc ,\alpha _{n}\in \operatorname {\tilde {H}} (X)$

$\{\alpha _{1},\dotsc ,\alpha _{n}\}\not \ni 0$

$\alpha _{1}\smile \dotsb \smile \alpha _{n}\neq 0$

그렇다면,

$\operatorname {cat} (X)\geq n$

이다.

유리수 류스테르니크-시니렐만 범주

유리수체 위의 가환 미분 등급 대수의 모형 범주 $\operatorname {cdgAlg} _{\mathbb {Q} }$를 생각하자. 그렇다면, 조각 범주

$\operatorname {cdgAlg} _{\mathbb {Q} }/\mathbb {Q}$

는 영 대상을 가지는 모형 범주이며, 육면체 공리를 따른다. 따라서, 이 범주 위에서 류스테르니크-시니렐만 범주를 정의할 수 있다. (CW-복합체와 호모토피 동치이며, 점 포함 사상이 쌍대올뭉치인) 점을 가진 공간 $\{\bullet \}\hookrightarrow X$에 대하여, 이에 대응되는 가환 미분 등급 대수 $A\to \mathbb {Q}$의 류스테르니크-시니렐만 범주를

$\operatorname {cat} _{0}(X)$

라고 표기하자. 이는 사실 $X$와 유리수 호모토피 동치인 점을 가진 공간의 류스테르니크-시니렐만 범주의 최솟값이다.^:§2.3 특히, 다음이 항상 성립한다.

$\operatorname {cat} _{0}(X)\leq \operatorname {cat} (X)$

또한, 만약 $X$와 $Y$가 단일 연결 공간이며, 그 최소 설리번 대수들이 등급별 유한 차원이라고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.^{:Theorem 2.19}

$\operatorname {cat} _{0}(X\times Y)=\operatorname {cat} _{0}(X)+\operatorname {cat} _{0}(Y)$

예

점을 가진 공간	류스테르니크-시니렐만 범주
축약 가능 공간:3, Example 1.6(1)	0
초구:3, Example 1.6(2) $\mathbb {S} ^{n}$, $n\geq 1$	1
축약 불가능한 현수 $\Sigma X$:Example 1.6(2)	1
원환면:4, Example 1.8(1) $\mathbb {T} ^{n}$	$n$
실수 사영 공간:4, Example 1.8(2) $\operatorname {\mathbb {R} P} ^{n}$	$n$
복소수 사영 공간:16, Example 1.33 $\operatorname {\mathbb {C} P} ^{n}$	$n$
종수 $g$의 가향 콤팩트 곡면 $\Sigma _{g}$	$\min\{g,2\}$
콤팩트 단일 연결 심플렉틱 다양체 $M$:44, Exercise 1.20	$(\dim M)/2$
$\mathbb {S} ^{2}\times \mathbb {T} ^{2}$:19, Example 1.38	3

콤팩트 단일 연결 심플렉틱 다양체 $(M,\omega )$에 대하여 $\operatorname {cat} M=(\dim M)/2$의 증명:^{:44, Exercise 1.20}

심플렉틱 형식 $\omega \in \Omega ^{2}(M)$의 드람 코호몰로지류

$[\omega ]\in \operatorname {H} ^{2}(M;\mathbb {R} )$

를 생각하자. 그렇다면,

$0\neq [\omega ]^{(\dim M)/2}\in \operatorname {H} ^{\dim M}(M;\mathbb {R} )$

이다. (이는 부피 형식을 이룬다.) 따라서 $M$의 코호몰로지 길이는 $(\dim M)/2$ 이상이며,

${\frac {\dim M}{2}}\leq \operatorname {cat} M$

이다. 반면, $M$이 단일 연결 공간이므로 $\operatorname {cat} M\leq (\dim M)/2$이다.

역사

라자리 류스테르니크

라자리 류스테르니크와 레프 시니렐만이 도입하였다. 두 명의 공동 논문은 시니렐만의 사후인 1947년에 처음 출판되었다. 그들은 위상 공간의 LS 범주와 그 공간 위의 연속 함수의 임계점의 수의 관계를 밝힘으로써 위상수학과 미분기하학 사이에 관계가 있음을 알아냈다. 그들은 공간의 성질을 나타내는 이 불변량에 ‘범주’(catégorie, категорий)라는 이름을 붙였는데, 이는 범주론의 범주와는 관련이 없고 당시는 아직 범주론이 정립되기 전이었다.

부케가르니를 통한 류스테르니크-시니렐만 범주의 정의는 조지 윌리엄 화이트헤드 2세가 도입하였다. 가네아 구성을 통한 류스테르니크-시니렐만 범주의 정의는 투도르 가네아가 도입하였다.

1971년 가네아는 LS 범주에 관한 명제인 가네아 추측을 제안했다. 하지만 1998년에 이와세 노리오(일본어: 岩瀬 則夫)가 이 추측에 대한 반례를 발견하였다.

외부 링크

• “Category (in the sense of Lyusternik-Shnirel'man)”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.