리 군론 에서 리 대수 코호몰로지 (Lie代數cohomology, 영어 : Lie algebra cohomology )는 리 대수 위에 정의되는 코호몰로지 이론이다. Ext 함자 의 특수한 경우이다.
연결 콤팩트 리 군
G
{\displaystyle G}
에 대하여, 그 드람 코호몰로지 는 그 리 대수
Lie
(
G
)
{\displaystyle \operatorname {Lie} (G)}
의 리 대수 코호몰로지와 (등급 가환 대수로서) 일치한다.
H
∙
(
G
;
R
)
≅
H
∙
(
Lie
(
G
)
;
R
)
{\displaystyle \operatorname {H} ^{\bullet }(G;\mathbb {R} )\cong \operatorname {H} ^{\bullet }(\operatorname {Lie} (G);\mathbb {R} )}
(같은 리 대수에 여러 개의 연결 리 군 이 대응할 수 있는데, 이는 꼬임 부분군 을 포함하지 않는 실수 계수인 드람 코호몰로지 로 구별할 수 없다.)
슈발레-에일렌베르크 복합체
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체
K
{\displaystyle K}
위의 리 대수 코호몰로지는 슈발레-에일렌베르크 복합체 (Chevalley-Eilenberg複合體, 영어 : Chevalley–Eilenberg complex )라는 공사슬 복합체 로 계산할 수 있다.
구체적으로,
n
{\displaystyle n}
차 슈발레-에일렌베르크 공사슬 (영어 : Chevalley–Eilenberg
n
{\displaystyle n}
-cochain )은
K
{\displaystyle K}
-선형 변환
hom
K
(
⋀
n
g
;
M
)
{\displaystyle \hom _{K}\left(\bigwedge ^{n}{\mathfrak {g}};M\right)}
이며, 그 공경계는 다음과 같다.
(
δ
f
)
(
x
1
,
…
,
x
n
+
1
)
=
∑
i
(
−
1
)
i
+
1
x
i
f
(
x
1
,
…
,
x
^
i
,
…
,
x
n
+
1
)
+
∑
i
<
j
(
−
1
)
i
+
j
f
(
[
x
i
,
x
j
]
,
x
1
,
…
,
x
^
i
,
…
,
x
^
j
,
…
,
x
n
+
1
)
{\displaystyle (\delta f)(x_{1},\ldots ,x_{n+1})=\sum _{i}(-1)^{i+1}x_{i}\,f(x_{1},\ldots ,{\hat {x}}_{i},\ldots ,x_{n+1})+\sum _{i<j}(-1)^{i+j}f([x_{i},x_{j}],x_{1},\ldots ,{\hat {x}}_{i},\ldots ,{\hat {x}}_{j},\ldots ,x_{n+1})}
여기서
x
^
i
{\displaystyle {\hat {x}}_{i}}
는 해당 항을 생략하라는 뜻이다.
만약
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
가 콤팩트 단일 연결 리 군
G
{\displaystyle G}
의 리 대수인 경우, 슈발레-에일렌베르크 복합체는
G
{\displaystyle G}
위의
M
{\displaystyle M}
계수
G
{\displaystyle G}
-불변 미분 형식 의 드람 복합체와 동형이다.
낮은 차원의 리 대수 코호몰로지
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아벨 리 대수
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체
K
{\displaystyle K}
위의 아벨 리 대수
V
{\displaystyle V}
와 그 자명한 표현
W
{\displaystyle W}
를 생각하자. 이 경우, 슈발레-에일렌베르크 복합체의 공경계는 항상 0이다. (첫 항은 가군 작용이 들어가며, 둘째 항은 리 괄호 가 들어간다.) 따라서, 리 대수 코호몰로지는 슈발레-에일렌베르크 공사슬 공간과 같다.
H
∙
(
V
;
W
)
=
hom
K
-Vect
(
⋀
∙
V
;
W
)
{\displaystyle \operatorname {H} ^{\bullet }(V;W)=\hom _{K{\text{-Vect}}}(\bigwedge ^{\bullet }V;W)}
특히,
W
=
K
{\displaystyle W=K}
라고 하자. 그렇다면
H
∙
(
V
;
K
)
=
⋀
∙
V
∗
{\displaystyle \operatorname {H} ^{\bullet }(V;K)=\bigwedge ^{\bullet }V^{*}}
이며,
V
{\displaystyle V}
가 유한 차원일 경우
dim
K
H
∙
(
V
;
K
)
=
(
dim
V
∙
)
{\displaystyle \dim _{K}\operatorname {H} ^{\bullet }(V;K)={\binom {\dim V}{\bullet }}}
이다.
기하학적으로,
K
=
R
{\displaystyle K=\mathbb {R} }
라고 하고, 아벨 리 군
U
(
1
)
n
{\displaystyle \operatorname {U} (1)^{n}}
을 생각하자. 이는 위상수학적으로
n
{\displaystyle n}
차원 원환면 이며, 그 드람 코호몰로지 는
H
dR
∙
(
T
n
)
≅
R
(
n
∙
)
{\displaystyle \operatorname {H} _{\text{dR}}^{\bullet }(\mathbb {T} ^{n})\cong \mathbb {R} ^{\binom {n}{\bullet }}}
이다. 즉, 리 대수 코호몰로지가 콤팩트 리 군 의 드람 코호몰로지와 일치하는 것을 알 수 있다. 호지 이론 에 따라, 드람 코호몰로지는 (임의의 리만 계량 을 주었을 때) 조화 형식 의 벡터 공간 과 표준적으로 동형이다. 평탄한 리만 계량 을 준 원환면 위의 조화 형식은 평행 이동에 대하여 불변인 것이며, 이는 슈발레-에일렌베르크 공사슬과 표준적으로 대응함을 쉽게 알 수 있다.
코쥘 복합체
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가환환
R
{\displaystyle R}
위의 가군
M
{\displaystyle M}
및 가군 준동형
ϕ
∈
hom
R
-Mod
(
M
,
R
)
{\displaystyle \phi \in \hom _{R{\text{-Mod}}}(M,R)}
이 주어졌다고 하자. 그렇다면,
M
{\displaystyle M}
을
R
{\displaystyle R}
위의 아벨 리 대수 로 여길 수 있으며, 또한
R
{\displaystyle R}
위에
m
⋅
r
=
ϕ
(
m
)
r
{\displaystyle m\cdot r=\phi (m)r}
로 정의하여
R
{\displaystyle R}
를 아벨 리 대수
M
{\displaystyle M}
의 표현 으로 생각하자. 이 경우,
R
{\displaystyle R}
계수의
M
{\displaystyle M}
의 슈발레-에일렌베르크 복합체는
(
R
,
M
,
ϕ
)
{\displaystyle (R,M,\phi )}
에 대한 코쥘 공사슬 복합체 와 같다. 즉, 코쥘 복합체 는 아벨 리 대수의 1차원 표현의 슈발레-에일렌베르크 복합체이다.
2차원 비아벨 리 대수
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체
K
{\displaystyle K}
위의 유일한 2차원 비아벨 리 대수
g
=
Span
{
x
,
y
}
{\displaystyle {\mathfrak {g}}=\operatorname {Span} \{x,y\}}
[
x
,
y
]
=
x
{\displaystyle [x,y]=x}
가 주어졌다고 하자. 이는 가해 리 대수 이다. 그렇다면,
K
{\displaystyle K}
계수의 슈발레-에일렌베르크 사슬 복합체는 다음과 같다.
δ
1
:
C
1
→
C
0
{\displaystyle \delta _{1}\colon C_{1}\to C_{0}}
δ
1
:
x
,
y
↦
0
{\displaystyle \delta _{1}\colon x,y\mapsto 0}
δ
2
:
C
2
→
C
1
{\displaystyle \delta _{2}\colon C_{2}\to C_{1}}
δ
2
:
x
∧
y
↦
−
[
x
,
y
]
=
−
x
{\displaystyle \delta _{2}\colon x\wedge y\mapsto -[x,y]=-x}
즉,
K
{\displaystyle K}
계수의 리 대수 호몰로지는 다음과 같다.
H
0
=
C
0
≅
K
{\displaystyle \operatorname {H} _{0}=C_{0}\cong K}
H
1
=
C
1
/
im
δ
2
=
Span
{
y
}
≅
K
{\displaystyle \operatorname {H} _{1}=C_{1}/\operatorname {im} \delta _{2}=\operatorname {Span} \{y\}\cong K}
H
2
=
ker
δ
2
=
{
0
}
{\displaystyle \operatorname {H} _{2}=\ker \delta _{2}=\{0\}}
즉, 호몰로지 베티 수는 각각
dim
K
H
0
=
1
{\displaystyle \dim _{K}\operatorname {H} _{0}=1}
,
dim
K
H
1
=
1
{\displaystyle \dim _{K}\operatorname {H} _{1}=1}
,
dim
K
H
2
=
0
{\displaystyle \dim _{K}\operatorname {H} _{2}=0}
이다. 마찬가지로, 슈발레-에일렌베르크 공사슬 복합체는 다음과 같다.
d
0
:
C
0
→
C
1
{\displaystyle d_{0}\colon C^{0}\to C^{1}}
d
0
:
a
↦
(
x
,
y
↦
0
)
{\displaystyle d_{0}\colon a\mapsto (x,y\mapsto 0)}
d
1
:
C
1
→
C
2
{\displaystyle d_{1}\colon C^{1}\to C^{2}}
d
1
:
(
x
↦
a
,
y
↦
b
)
↦
(
x
∧
y
↦
−
a
)
{\displaystyle d_{1}\colon (x\mapsto a,\,y\mapsto b)\mapsto (x\wedge y\mapsto -a)}
따라서, 코호몰로지의 차원도
dim
K
H
0
=
1
{\displaystyle \dim _{K}\operatorname {H} ^{0}=1}
,
dim
K
H
1
=
1
{\displaystyle \dim _{K}\operatorname {H} ^{1}=1}
,
dim
K
H
2
=
0
{\displaystyle \dim _{K}\operatorname {H} ^{2}=0}
이다.
3차원 직교 대수
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3차원 직교군 의 리 대수
s
o
(
3
;
R
)
≅
s
u
(
2
)
{\displaystyle {\mathfrak {so}}(3;\mathbb {R} )\cong {\mathfrak {su}}(2)}
의 리 대수 코호몰로지를 계산해 보자.
s
o
(
3
)
{\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}
의 기저 는 다음과 같다.
[
x
,
y
]
=
z
{\displaystyle [x,y]=z}
[
y
,
z
]
=
x
{\displaystyle [y,z]=x}
[
z
,
x
]
=
y
{\displaystyle [z,x]=y}
따라서,
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
계수의 슈발레-에일렌베르크 사슬 복합체는 다음과 같다.
∂
1
:
C
1
→
C
0
{\displaystyle \partial _{1}\colon C_{1}\to C_{0}}
∂
1
:
x
,
y
,
z
↦
0
{\displaystyle \partial _{1}\colon x,y,z\mapsto 0}
∂
2
:
C
2
→
C
1
{\displaystyle \partial _{2}\colon C_{2}\to C_{1}}
∂
2
:
x
∧
y
↦
−
[
x
,
y
]
=
−
z
{\displaystyle \partial _{2}\colon x\wedge y\mapsto -[x,y]=-z}
∂
2
:
y
∧
z
↦
−
[
y
,
z
]
=
−
x
{\displaystyle \partial _{2}\colon y\wedge z\mapsto -[y,z]=-x}
∂
2
:
z
∧
x
↦
−
[
z
,
x
]
=
−
y
{\displaystyle \partial _{2}\colon z\wedge x\mapsto -[z,x]=-y}
∂
3
:
C
3
→
C
2
{\displaystyle \partial _{3}\colon C_{3}\to C_{2}}
∂
3
:
x
∧
y
∧
z
↦
0
{\displaystyle \partial _{3}\colon x\wedge y\wedge z\mapsto 0}
따라서, 이 경우
dim
R
H
0
=
1
{\displaystyle \dim _{\mathbb {R} }\operatorname {H} _{0}=1}
dim
R
H
1
=
0
{\displaystyle \dim _{\mathbb {R} }\operatorname {H} _{1}=0}
dim
R
H
2
=
0
{\displaystyle \dim _{\mathbb {R} }\operatorname {H} _{2}=0}
dim
R
H
3
=
1
{\displaystyle \dim _{\mathbb {R} }\operatorname {H} _{3}=1}
이다. 리 군
SU
(
2
)
=
Spin
(
3
)
{\displaystyle \operatorname {SU} (2)=\operatorname {Spin} (3)}
은 3차원 초구
S
3
{\displaystyle \mathbb {S} ^{3}}
와 위상 동형 이며, 위 값들은 3차원 초구의 베티 수 와 일치한다.
참고 문헌
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외부 링크
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