미분 등급 대수

호몰로지 대수학에서 미분 등급 대수(微分等級代數, 영어: differential graded algebra, 약자 DGA)는 곱 규칙을 만족시키는 공경계 연산이 주어진 공사슬 복합체이다. 미분 대수의 개념의 일반화이다.

정의

가환환 $K$가 주어졌다고 하자.

추상적 정의

음이 아닌 차수 공사슬 복합체의 아벨 범주 $\operatorname {Ch} ^{\geq 0}(\operatorname {Mod} _{K})$를 생각하자. 이는 텐서곱에 대하여 대칭 모노이드 범주를 이루며, 따라서 모노이드 대상과 가환 모노이드 대상을 정의할 수 있다.

미분 등급 대수는 $\operatorname {Ch} ^{\geq 0}(\operatorname {Mod} _{K})$의 모노이드 대상이다. 가환 미분 등급 대수(可換微分等級代數, 영어: commutative differential graded algebra, CDGA)는 $\operatorname {Ch} ^{\geq 0}(\operatorname {Mod} _{K})$의 가환 모노이드 대상이다. 이들의 범주를 각각 $\operatorname {DGA} _{K}^{\geq 0}$ 및 $\operatorname {CDGA} _{K}^{\geq 0}$이라고 표기하자.

음이 아닌 차수의 공사슬 복합체 대신, 모든 정수 차수의 공사슬 복합체를 사용할 수도 있다. 이들을 사용하여 얻는 범주를 각각 $\operatorname {DGA} _{K}^{\mathbb {Z} }$ 및 $\operatorname {CDGA} _{K}^{\mathbb {Z} }$라고 표기하자.

구체적 정의

$K$에 대한 미분 등급 대수 $(A,\mathrm {d} )$는 다음과 같은 데이터로 구성된다.

• $\textstyle A=\bigoplus _{i\in \mathbb {N} }A_{i}$는 결합 $K$-등급 대수이다.
• $d\colon A_{i}\to A_{i+1}$는 등급이 1인 $K$-선형 변환이다.

이는 다음 공리들을 만족시켜야 한다.

• (멱영성) $\mathrm {d} ^{2}=0$. 즉, $(A,\mathrm {d} )$는 공사슬 복합체이다.
• (곱 규칙) 모든 동차 원소 $a,b\in A$에 대하여, $\mathrm {d} (ab)=(\mathrm {d} a)b+(-1)^{\deg a}a(\mathrm {d} b)$

$K$에 대한 가환 미분 등급 대수는 (자연수 등급의) 미분 등급 대수 가운데, $(-)^{\deg }$에 대한 등급 교환 법칙을 따르는 것이다. 즉,

$ab=(-1)^{\deg a\deg b}ba$

이다.

연산

직접곱

가환환 $K$ 위의 (유한 개 또는 무한 개의) 미분 등급 대수들의 족 $(A^{(i)})_{i\in I}$이 주어졌을 때, 이들의 곱집합

$A_{n}=\prod _{i\in I}A_{n}^{(i)}$

$A=\bigoplus _{n\in \mathbb {N} }A_{n}$

은 미분 등급 대수를 이룬다.

몫

가환환 $K$ 위의 미분 등급 대수 $A$의 미분 등급 아이디얼(微分等級ideal, 영어: differential graded ideal) ${\mathfrak {a}}\subseteq A$는 다음 세 조건들을 모두 만족시키는 부분 집합이다.

• $A$의 양쪽 아이디얼이다.
• 등급 벡터 공간이다. 즉, 임의의 $a\in {\mathfrak {a}}$에 대하여, $\textstyle a=\sum _{i}a_{i}$, $a_{i}\in A_{i}$라면, 모든 $i\in \mathbb {N}$에 대하여 $a_{i}\in {\mathfrak {a}}$이다.
• 공사슬 복합체이다. 즉, 임의의 $a\in {\mathfrak {a}}$에 대하여, $\mathrm {d} a\in {\mathfrak {a}}$이다.

미분 등급 아이디얼 ${\mathfrak {a}}$가 주어졌을 때, 몫 미분 등급 대수(영어: quotient differential graded algebra) $A/{\mathfrak {a}}$를 정의할 수 있다. 반대로, 임의의 미분 등급 대수의 준동형 $A\to B$의 핵은 미분 등급 아이디얼을 이룬다.

코호몰로지

미분 등급 대수의 코호몰로지 $\operatorname {H} ^{\bullet }(A,\mathrm {d} )$는 $\mathrm {d} =0$인 미분 등급 대수를 이룬다. 모든 미분 등급 대수는 스스로의 코호몰로지로 가는 미분 등급 대수 준동형

$[-]_{A}\colon A\to \operatorname {H} (A)$

을 갖는다.

또한, 임의의 미분 등급 대수 준동형 $f\colon A\to B$은 그 코호몰로지의 미분 등급 대수 준동형

$f_{*}\colon \operatorname {H} (A)\to \operatorname {H} (B)$

을 유도한다.

만약 미분 등급 대수 준동형 $f$에 대하여, $f_{*}$가 동형 사상이라면, $f$를 유사동형(類似同型, 영어: quasi-isomorphism)이라고 한다.

(이름과 달리, 두 미분 등급 대수 사이의 유사동형의 존재는 동치 관계를 이루지 않으며, 동치 관계를 얻기 위해서는 이들을 포함하는 가장 작은 동치 관계를 취해야 한다. 구체적으로, 이는 유사동형들의 지그재그가 된다.)

만약 $[-]_{A}\colon A\to \operatorname {H} (A)$가 유사동형이라면, $A$를 형식적 미분 등급 대수(形式的微分等級代數, 영어: formal differential graded algebra)라고 한다. 형식성은 유사동형에 대하여 불변이다.

성질

표수 0인 체 $K$ 위에서, 다음과 같은 범주들을 생각하자.

• 자연수 등급의 가환 미분 등급 대수의 범주 $\operatorname {CDGA} _{K}^{\geq 0}$
• 자연수 등급의 미분 등급 대수의 범주 $\operatorname {DGA} _{K}^{\geq 0}$
• 정수 등급의 가환 미분 등급 대수의 범주 $\operatorname {CDGA} _{K}^{\mathbb {Z} }$
• 정수 등급의 미분 등급 대수의 범주 $\operatorname {DGA} _{K}^{\mathbb {Z} }$

$\operatorname {CDGA} _{K}^{\geq 0}$ 및 $\operatorname {DGA} _{K}^{\geq 0}$ 위에는 다음과 같은 모형 범주 구조를 줄 수 있다.

• 약한 동치는 유사동형이다.
• 올뭉치는 각 차수마다 전사 함수인 준동형이다.
  • 모든 대상이 올대상이다.
• 쌍대올뭉치는 상대 설리번 대수의 왼쪽 역사상이다.
  • 쌍대올대상은 설리번 대수이다. 이들은 항상 가환 대수이다.

$\operatorname {DGA} _{K}^{\geq 0}$의 경우, 망각 함자 $\operatorname {CDGA} _{K}^{\geq 0}\to \operatorname {DGA} _{K}^{\geq 0}$는 왼쪽 수반 함자를 가지며, 이는 퀼런 수반 함자를 이룬다.

$\operatorname {CDGA} _{K}^{\mathbb {Z} }$의 경우, 다음과 같은 모형 구조를 줄 수 있다.

• 약한 동치는 유사동형이다.
• 올뭉치는 각 차수마다 전사 함수인 준동형이다.
  • 모든 대상이 올대상이다.
• 쌍대올뭉치는 약한 동치와 올뭉치로서 결정된다.

만약 $K$가 표수 0이 아닐 경우, 위와 같은 정의들은 모형 범주 구조를 정의하지 못한다.

예

매끄러운 다양체 $M$ 위의 미분 형식 $\Omega ^{\bullet }(M)$은 가환 미분 등급 대수를 이룬다. 이 경우, $\mathrm {d}$는 외미분이고, 대수 연산은 쐐기곱이다.

위상 공간 $X$의 특이 코호몰로지 환 $\operatorname {H} ^{\bullet }(X)$은 가환 미분 등급 대수를 이룬다. 이 경우 $\mathrm {d}$는 복시테인 준동형이며, 연산은 코호몰로지류의 컵곱이다.

리 대수의 코쥘 복합체나 기저가 주어진 벡터 공간 $V$의 텐서 대수 $\operatorname {T} ^{\bullet }(V)$ 역시 미분 등급 대수의 구조를 줄 수 있다.

외부 링크

• “Differential graded algebra”. 《nLab》 (영어). 
• “Formal dg-algebra”. 《nLab》 (영어). 
• “Model structure on dg-algebras”. 《nLab》 (영어). 
• “dg-ideal”. 《nLab》 (영어). 
• “dg-module”. 《nLab》 (영어). 
• “Non-examples of model structures, that fail for subtle/surprising reasons”. 《Math Overflow》 (영어).