바이어슈트라스의 곱 정리

바이어슈트라스의 곱 정리(Weierstrass product theorem) 혹은 바이어슈트라스 분해정리(Weierstrass factorization theorem)란 해석학의 정리로서, 19세기에 복소해석학이 이룬 괄목할 만한 성과 중 하나로 간주된다. 카를 바이어슈트라스(Karl Theodor Wilhelm Weierstraß)가 제출한 이 정리는 다음과 같이 표현된다:

• (존재성) 극점이 존재하지 않는 복소수 수열이 주어지면, 이 점들만 영점으로 가지는 전해석함수가 최소 하나 존재한다.
• (부분적 경우의 구성) 주어진 0이 아닌 수열 $(a_{n})$에 대하여, 하나의 전해석함수는 다음과 같다.

$f(z)=\prod _{n=1}^{\infty }{e^{P_{n}(z)}\left(1-{\frac {z}{a_{n}}}\right)}$  $\left({\mbox{for }}P_{n}(z)=\sum _{k=1}^{\infty }{{\frac {1}{k}}\left({\frac {z}{a_{n}}}\right)^{k}}\right)$

증명

간단한 형태의 구성 방법 증명만 다룬다. 좀 더 포괄적인 존재성에 관한 증명은 여기에서는 생략한다.

구성

• $|z|\leq R<2R\leq |a_{n}|$이면 $P_{n}(z)$는,

$\left|P_{n}(z)+\log \left(1-{\frac {z}{a_{n}}}\right)\right|\leq 2\left|{\frac {z}{a_{n}}}\right|^{n+1}\leq {\frac {1}{2^{n}}}$을 만족한다.

• 다시 말해서 충분히 큰 M에 대하여 $2R\leq |a_{M}|$이면,

$\sum _{n=M}^{\infty }{\left|P_{n}(z)+\log \left(1-{\frac {z}{a_{n}}}\right)\right|}\leq \sum _{n=M}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}<1$이다.

• 그러므로 바이어슈트라스 M-판정법에 의하여, $f(z)=\prod _{n=1}^{\infty }{e^{P_{n}(z)}\left(1-{\frac {z}{a_{n}}}\right)}$는 임의의 폐집합에서 균등수렴하게 된다. 그런데 바이어슈트라스의 균등수렴 정리에 의하여, 이 조건에서 $f$는 그 폐집합 $D$에서 정칙이다. 따라서 $f(z)$는 $(a_{n})$의 모든 점들만 영점으로 가지는 전해석함수이다.

일반화

미타그레플레르 정리를 이용하여 바이어슈트라스의 곱 정리를 다음과 같이 일반화할 수 있다.

• 정리 : $(a_{n})$을 $\infty$ 로 발산하는 서로 다른 복소수들의 수열이며 $(b_{n})$은 임의의 복소수열이라 하자. 그러면 모든 자연수 $n$에 대하여 $f(a_{n})=b_{n}$ 을 만족하는 전해석함수 $f$가 적어도 하나 존재한다.

참고 문헌

• 고석구, 『복소해석학개론(2판)』, 경문사, 2005
• 강승필, 『해설 복소함수론』, 경문사, 2007

같이 보기

• 쿠쟁 문제
• 미타그레플레르 정리