바이어슈트라스 타원함수 (Weierstraß楕圓函數, 영어 : Weierstrass elliptic function )는 타원함수 의 하나다. 타원곡선 의 연구에 중요한 역할을 한다. 기호는
℘
{\displaystyle \wp }
바이어슈트라스 타원함수의 그래프.
(
g
2
,
g
3
)
=
(
1
+
i
,
2
−
3
i
)
{\displaystyle (g_{2},g_{3})=(1+i,2-3i)}
(
ω
1
,
ω
2
)
≈
(
0.79
+
2.26
i
,
2.44
+
0.31
i
)
{\displaystyle (\omega _{1},\omega _{2})\approx (0.79+2.26i,2.44+0.31i)}
바이어슈트라스 타원함수
℘
(
z
;
ω
1
,
ω
2
)
{\displaystyle \wp (z;\omega _{1},\omega _{2})}
미분 방정식 으로 정의할 수 있다.
z
∈
C
{\displaystyle z\in \mathbb {C} }
τ
∈
H
/
PSL
(
2
;
Z
)
{\displaystyle \tau \in \mathbb {H} /\operatorname {PSL} (2;\mathbb {Z} )}
바이어슈트라스 타원함수
℘
(
z
;
τ
)
{\displaystyle \wp (z;\tau )}
℘
(
z
;
τ
)
=
1
z
2
+
∑
(
m
,
n
)
≠
(
0
,
0
)
(
1
(
z
+
m
+
τ
n
)
2
−
1
(
m
+
τ
n
)
2
)
{\displaystyle \wp (z;\tau )={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{(m,n)\neq (0,0)}\left({\frac {1}{(z+m+\tau n)^{2}}}-{\frac {1}{(m+\tau n)^{2}}}\right)}
타원곡선 모듈러스
τ
{\displaystyle \tau }
ω
1
,
ω
2
{\displaystyle \omega _{1},\omega _{2}}
℘
(
z
;
ω
1
,
ω
2
{\displaystyle \wp (z;\omega _{1},\omega _{2}}
℘
(
z
;
ω
1
,
ω
2
)
=
1
z
2
+
∑
(
m
,
n
)
≠
(
0
,
0
)
(
1
(
z
+
m
ω
1
+
n
ω
2
)
2
−
1
(
m
ω
1
+
n
ω
2
)
2
)
=
ω
1
−
2
℘
(
z
/
ω
1
;
ω
2
/
ω
1
)
{\displaystyle \wp (z;\omega _{1},\omega _{2})={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{(m,n)\neq (0,0)}\left({\frac {1}{(z+m\omega _{1}+n\omega _{2})^{2}}}-{\frac {1}{(m\omega _{1}+n\omega _{2})^{2}}}\right)=\omega _{1}^{-2}\wp (z/\omega _{1};\omega _{2}/\omega _{1})}
미분 방정식
편집
바이어슈트라스 타원함수는 다음과 같은 미분 방정식 을 만족시킨다.
℘
′
(
z
;
ω
1
,
ω
2
)
2
=
4
℘
(
z
;
ω
1
,
ω
2
)
3
−
g
2
(
ω
1
,
ω
2
)
℘
(
z
;
ω
1
,
ω
2
)
−
g
3
(
ω
1
,
ω
2
)
{\displaystyle \wp '(z;\omega _{1},\omega _{2})^{2}=4\wp (z;\omega _{1},\omega _{2})^{3}-g_{2}(\omega _{1},\omega _{2})\wp (z;\omega _{1},\omega _{2})-g_{3}(\omega _{1},\omega _{2})}
여기서
℘
′
(
z
;
ω
1
,
ω
2
u
)
=
∂
℘
(
z
;
ω
1
,
ω
2
)
∂
z
{\displaystyle \wp '(z;\omega _{1},\omega _{2}u)={{\partial \wp (z;\omega _{1},\omega _{2})} \over {\partial z}}}
g
2
{\displaystyle g_{2}}
g
3
{\displaystyle g_{3}}
타원 불변량 (영어 : elliptic invariant )이라고 불리는 모듈러 형식 이며, 이는 주기
(
ω
1
,
ω
2
)
{\displaystyle (\omega _{1},\omega _{2})}
g
2
(
ω
1
,
ω
2
)
=
60
∑
(
m
,
n
)
≠
(
0
,
0
)
(
m
ω
1
+
n
ω
2
)
−
4
{\displaystyle g_{2}(\omega _{1},\omega _{2})=60\sum _{(m,n)\neq (0,0)}(m\omega _{1}+n\omega _{2})^{-4}}
g
3
(
ω
1
,
ω
2
)
=
140
∑
(
m
,
n
)
≠
(
0
,
0
)
(
m
ω
1
+
n
ω
2
)
−
6
{\displaystyle g_{3}(\omega _{1},\omega _{2})=140\sum _{(m,n)\neq (0,0)}(m\omega _{1}+n\omega _{2})^{-6}}
이는 타원곡선 의 방정식이다. 즉, 다음과 같은 함수
f
:
C
/
Λ
→
C
P
2
{\displaystyle f\colon \mathbb {C} /\Lambda \to \mathbb {CP} ^{2}}
f
:
z
↦
[
1
,
℘
(
z
;
τ
)
,
℘
′
(
z
;
τ
)
]
{\displaystyle f\colon z\mapsto [1,\wp (z;\tau ),\wp '(z;\tau )]}
를 정의하면, 이는 원환면
C
/
Λ
{\displaystyle \mathbb {C} /\Lambda }
y
2
=
4
x
3
−
g
2
x
−
g
3
{\displaystyle y^{2}=4x^{3}-g_{2}x-g_{3}}
복소다양체 의 동형사상 을 이룬다. 여기서
Λ
{\displaystyle \Lambda }
τ
{\displaystyle \tau }
격자
Λ
=
{
m
+
n
τ
:
m
,
n
∈
Z
}
{\displaystyle \Lambda =\{m+n\tau \colon m,n\in \mathbb {Z} \}}
이다. 이에 따라서, 복소 타원곡선은 위상수학적으로 원환면 임을 알 수 있다.
바이어슈트라스 타원함수는 타원함수 이므로, 다음과 같은 주기성 을 가진다. 임의의
n
1
,
n
2
∈
Z
{\displaystyle n_{1},n_{2}\in \mathbb {Z} }
℘
(
z
;
ω
1
,
ω
2
)
=
℘
(
z
+
n
1
ω
1
+
n
2
ω
2
;
ω
1
,
ω
2
)
{\displaystyle \wp (z;\omega _{1},\omega _{2})=\wp (z+n_{1}\omega _{1}+n_{2}\omega _{2};\omega _{1},\omega _{2})}
또한, 모듈러 매개변수
τ
{\displaystyle \tau }
모듈러 함수 의 성질을 가진다.
℘
(
z
;
τ
)
=
℘
(
z
;
τ
+
1
)
=
℘
(
z
;
−
1
/
τ
)
{\displaystyle \wp (z;\tau )=\wp (z;\tau +1)=\wp (z;-1/\tau )}
또한, 바이어슈트라스 타원함수는 짝함수 이며, 그 도함수는 홀함수 이다.
℘
(
z
;
ω
1
,
ω
2
)
=
℘
(
−
z
;
ω
1
,
ω
2
)
{\displaystyle \wp (z;\omega _{1},\omega _{2})=\wp (-z;\omega _{1},\omega _{2})}
℘
;
(
z
;
ω
1
,
ω
2
)
=
−
℘
′
(
−
z
;
ω
1
,
ω
2
)
{\displaystyle \wp ;(z;\omega _{1},\omega _{2})=-\wp '(-z;\omega _{1},\omega _{2})}
바이어슈트라스 타원함수
℘
(
−
;
ω
1
,
ω
2
)
{\displaystyle \wp (-;\omega _{1},\omega _{2})}
타원 곡선
C
/
⟨
ω
1
,
ω
2
⟩
{\displaystyle \mathbb {C} /\langle \omega _{1},\omega _{2}\rangle }
리만 구면
C
^
{\displaystyle {\hat {\mathbb {C} }}}
분지 피복 을 정의한다. 이 경우, 리만-후르비츠 공식 에 따라 총 4개의 분지점이 존재하며, 이들은 타원 곡선의 2차 꼬임 부분군 이다. 분지점에서의 값들은 (무한대를 제외하고) 통상적으로
e
1
,
e
2
,
e
3
{\displaystyle e_{1},e_{2},e_{3}}
∞
^
=
℘
(
0
;
ω
1
,
ω
2
)
{\displaystyle {\widehat {\infty }}=\wp (0;\omega _{1},\omega _{2})}
e
1
(
ω
1
,
ω
2
)
=
℘
(
ω
1
/
2
;
ω
1
,
ω
2
)
{\displaystyle e_{1}(\omega _{1},\omega _{2})=\wp (\omega _{1}/2;\omega _{1},\omega _{2})}
e
2
(
ω
1
,
ω
2
)
=
℘
(
ω
2
/
2
;
ω
1
,
ω
2
)
{\displaystyle e_{2}(\omega _{1},\omega _{2})=\wp (\omega _{2}/2;\omega _{1},\omega _{2})}
e
3
(
ω
1
,
ω
2
)
=
℘
(
ω
1
/
2
+
ω
2
/
2
;
ω
1
,
ω
2
)
{\displaystyle e_{3}(\omega _{1},\omega _{2})=\wp (\omega _{1}/2+\omega _{2}/2;\omega _{1},\omega _{2})}
덧셈 공식
편집
삼각함수 나 야코비 타원함수 와 마찬가지로, 바이어슈트라스 타원함수는 다음과 같은 덧셈 공식 (영어 : addition formula )을 만족시킨다.
℘
(
z
+
y
)
=
1
4
(
℘
′
(
z
)
−
℘
′
(
y
)
℘
(
z
)
−
℘
(
y
)
)
2
−
℘
(
z
)
−
℘
(
y
)
{\displaystyle \wp (z+y)={\frac {1}{4}}\left({\frac {\wp '(z)-\wp '(y)}{\wp (z)-\wp (y)}}\right)^{2}-\wp (z)-\wp (y)}
만약
z
=
y
{\displaystyle z=y}
극한 을 취해 다음과 같은 공식을 얻는다.
℘
(
2
z
)
=
1
4
(
℘
″
(
z
)
℘
′
(
z
)
)
2
−
2
℘
(
z
)
{\displaystyle \wp (2z)={\frac {1}{4}}\left({\frac {\wp ''(z)}{\wp '(z)}}\right)^{2}-2\wp (z)}
야코비 타원함수와의 관계
편집
바이어슈트라스 타원함수는 야코비 타원함수 로 나타낼 수 있으며, 다음과 같다.
℘
(
z
)
=
e
3
+
e
1
−
e
3
sn
2
(
w
;
m
)
=
e
2
+
(
e
1
−
e
3
)
dn
2
(
w
;
m
)
sn
2
(
w
;
m
)
=
e
1
+
(
e
1
−
e
3
)
cn
2
(
w
;
m
)
sn
2
(
w
;
m
)
{\displaystyle \wp (z)=e_{3}+{\frac {e_{1}-e_{3}}{\operatorname {sn} ^{2}(w;m)}}=e_{2}+\left(e_{1}-e_{3}\right){\frac {\operatorname {dn} ^{2}(w;m)}{\operatorname {sn} ^{2}(w;m)}}=e_{1}+\left(e_{1}-e_{3}\right){\frac {\operatorname {cn} ^{2}(w;m)}{\operatorname {sn} ^{2}(w;m)}}}
여기서
w
=
z
e
1
−
e
3
{\displaystyle w=z{\sqrt {e_{1}-e_{3}}}}
m
=
(
e
2
−
e
3
)
/
(
e
1
−
e
3
)
{\displaystyle m=(e_{2}-e_{3})/(e_{1}-e_{3})}
이다.
바이어슈트라스 타원함수가 따르는 미분 방정식을 적분하면, 바이어슈트라스 타원함수의 역함수 는 다음과 같은 타원적분 임을 알 수 있다.
u
=
∫
℘
(
u
;
τ
)
∞
d
s
4
s
3
−
g
2
(
τ
)
s
−
g
3
(
τ
)
{\displaystyle u=\int _{\wp (u;\tau )}^{\infty }{\frac {ds}{\sqrt {4s^{3}-g_{2}(\tau )s-g_{3}(\tau )}}}}
이는 리만 구면 에서 타원곡선 으로 가는 사상으로 볼 수 있으며,
{
e
1
,
e
2
,
e
3
,
∞
^
}
{\displaystyle \{e_{1},e_{2},e_{3},{\widehat {\infty }}\}}
분지점 을 갖는다.
같이 보기
편집
참고 문헌
편집
외부 링크
편집
![{\displaystyle f\colon z\mapsto [1,\wp (z;\tau ),\wp '(z;\tau )]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34343215c75c4ad0bc4d589e6fd4a27293e1cbdc)
