바이어스트라스 준비 정리

수학에서 바이어스트라스 준비 정리(영어: Weierstrass preparation theorem)는 주어진 점 $P$에서 복소 다변수 해석 함수를 처리하는 방법이다. 그러한 함수는 $P$ 에서 0이 아닌 함수에 의한 곱셈까지, 하나의 고정 변수 z 에서 다항식이며, 이는 일계수 다항식이고 그의 계수가 낮은 항의 계수는 나머지 변수에서 해석 함수이고 $P$에서 0이다.

또한 일부 환 $R$에서 $u\cdot w$로 분해의 아이디어를 확장하는 정리의 여러 변형이 있다. 여기서 $u$는 단원이고 $w$는 일종의 고유한 바이어스트라스 다항식이다. 카를 지겔은 19세기 말 일부 Traités d'analyse 에서 정당한 이유 없이 현재 이름으로 발생했다고 말하면서 바이어스트라스에 대한 정리의 속성에 대해 이의를 제기했다.

복소 해석 함수

하나의 변수에 대해 0에 가까운 해석 함수 $f(z)$의 국소 형식은 $z^{k}h(z)$이다. 여기서 $h(0)$는 0이 아니며 $k$는 0에서 f 의 0의 차수이다. 이것은 준비 정리가 일반화되는 결과이다. 첫 번째라고 가정할 수 있는 변수 z 하나를 선택하고 복소 변수를 $(z,z_{2},\dots ,z_{n})$으로 쓴다. 바이어스트라스 다항식 $W(z)$는 다음과 같다.

$z^{k}+g_{k-1}z^{k-1}+\dots +g_{0}$

여기서 $g_{i}(z_{2},\dots ,z_{n})$는 해석적이고 $g_{i}(0,\dots ,0)=0$이다.

그런 다음 정리는 해석 함수 f 에 대해 다음과 같이 말한다.

$f(0,\dots ,0)=0$

그리고

$f(z,z_{2},\dots ,z_{n})$

멱급수에는 $z$만 포함하는 항이 있으므로 (국소적으로 $(0,\dots ,0)$ 근처)라고 쓸 수 있다.

$f(z,z_{2},\dots ,z_{n})=W(z)h(z,z_{2},\dots ,z_{n})$

$h(0,\dots ,0)\neq 0$이며, $W$는 바이어스트라스 다항식이다.

이는 $(0,\dots ,0)$에 가까운 $f$의 근들의 집합이 $z_{2},\dots ,z_{n}$의 작은 값을 고정한 다음 방정식 $W(z)=0$를 풀면 찾을 수 있다는 즉각적인 결과를 가져온다. $z$의 해당 값은 $z$에서 $W$의 차수와 같은 수로 연속적으로 변화하는 여러 분기들을 형성한다. 특히 $f$는 고립된 근을 가질 수 없다.

나눗셈 정리

관련 결과는 $f,g$가 해석 함수이고 $g$가 $N$차 바이어스트라스 다항식이면 $f=gh+j$를 만족하는 고유한 쌍 $h$와 $j$ 가 존재한다는 바이어스트라스 분할 정리이다. 여기서 $j$는 $N$보다 작은 차수의 다항식이다. 사실, 많은 저자들이 나눗셈 정리의 귀결로서 바이어스트라스 준비를 증명한다. 두 정리가 동치라서 준비 정리에서 나눗셈 정리를 증명하는 것도 가능하다.

응용

바이어스트라스 준비 정리는 $n$ 변수에서 해석 함수들의 싹들의 환이 뤼케르트 기저 정리라고도 하는 뇌터 환임을 보여주기 위해 사용할 수 있다.

매끄러운 함수

말그랑주 준비 정리라고 하는 베르나르 말그랑주로 인해 매끄러운 함수에 대한 더 깊은 준비 정리 가 있다. 또한 존 매더의 이름을 따서 명명된 관련 나눗셈 정리가 있다.

완비 국소 환의 형식 멱급수

완비 국소 환 $A$에 대한 형식적 멱급수 환에 대해 바이어스트라스 준비 정리라고도 부르는 비슷한 결과가 있다. 모든 멱급수 $f=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}t^{n}\in A[[t]]$에 대해 $a_{n}$들 중 $A$의 극대 이데알 ${\mathfrak {m}}$에 있지 않는 것이 존재하고, $A[[t]]$의 유일한 단원 u가 있다. 그리고 $b_{i}\in {\mathfrak {m}}$인 $F=t^{s}+b_{s-1}t^{s-1}+\dots +b_{0}$ 형식의 다음과 같은 다항식 $F$(소위 고유 다항식)이 존재한다:

$f=uF.$

$A[[t]]$는 다시 완비 국소 환이므로 결과를 반복할 수 있다. 따라서 다변수에서 형식적 멱급수에 대해 비슷한 분해 결과를 제공한다.

예를 들어 이것은 p-진 체의 정수 환에 적용된다. 이 경우 정리는 멱급수 $f(z)$가 항상 $\pi ^{n}u(z)p(z)$로 유일하게 분해될 수 있다고 한다. 여기서 $u(z)$는 형식적 멱급수 환의 단원이고, $p(z)$는 고유 다항식 (모닉, 극대 이데알에서 각각의 비선두 항의 계수를 가짐)이고 $\pi$는 고정된 균일자이다.

환 $\mathbf {Z} _{p}[[t]]$에 대한 바이어스트라스 준비 및 분할 정리의 적용(이와사와 대수라고도 함)은 이와사와 이론에서 이 환에 대해 유한하게 생성된 가군을 설명할 때 발생한다.

바이어스트라스 분할 및 준비의 비가환 버전이 존재하며, $A$는 반드시 가환 환일 필요는 없으며 형식적 멱급수 대신에 형식 스큐 멱급수를 사용한다.

테이트 대수

완비 비 아르키메데스 체 $\mathbb {k}$에 대한테이트 대수를 위한 바이어스트라스 준비 정리도 있다:

$T_{n}(k)=\left\{\sum _{\nu _{1},\dots ,\nu _{n}\geq 0}a_{\nu _{1},\dots ,\nu _{n}}X_{1}^{\nu _{1}}\cdots X_{n}^{\nu _{n}},|a_{\nu _{1},\dots ,\nu _{n}}|\to 0{\text{ for }}\nu _{1}+\dots +\nu _{n}\to \infty \right\}$

이 대수는 강체 기하학의 기본적 구성 요소이다. 이 형태의 바이어스트라스 준비 정리는 은 환 $T_{n}(\mathbb {k} )$들이 뇌터이라는 사실에 적용된다.

같이 보기

• 오카 정리

각주

• Lewis, Andrew, 《Notes on Global Analysis》 
• Siegel, C. L. (1969), 〈Zu den Beweisen des Vorbereitungssatzes von Weierstrass〉, 《Number Theory and Analysis (Papers in Honor of Edmund Landau)》, New York: Plenum, 297–306쪽, MR 0268402 , reprinted in Siegel, Carl Ludwig (1979), Chandrasekharan, K.; Maass., H., 편집., 《Gesammelte Abhandlungen. Band IV》, Berlin-New York: Springer-Verlag, 1–8쪽, ISBN 0-387-09374-5, MR 0543842 
• Solomentsev, E.D. (2001). “Weierstrass theorem”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Stickelberger, L. (1887), “Ueber einen Satz des Herrn Noether”, 《Mathematische Annalen》 30 (3): 401–409, doi:10.1007/BF01443952, S2CID 121360367 
• Weierstrass, K. (1895), 《Mathematische Werke. II. Abhandlungen 2》, Berlin: Mayer & Müller, 135–142쪽  reprinted by 존son, New York, 1967.

외부 링크

• Lebl, Jiří. “Weierstrass Preparation and Division Theorems. (2021, September 5).”. 《LibreTexts》.