바인가르텐 공식

바인가르텐 공식(Weingarten's formulae, -公式) 또는 바인가르텐 방정식(Weingarten's equations)은 미분기하학에서 사용되는 공식으로, 곡면의 단위 법벡터 N을 특정한 방향으로 주어진 위치벡터의 일계 도함수로 전개하기 위해 사용된다. 독일 수학자 율리우스 바인가르텐(Julius Weingarten)이 1861년 제출하였다.

공식화

S를 위치벡터 r(u, v)에 의해 매개변수화된 3차원 유클리드 공간의 곡면이라 하자. 이 곡면 위의 어떤 고정된 점 P = P(u, v)에 대하여, P 에서의 접벡터들은,

$\mathbf {r} _{u}={\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial u}},\quad \mathbf {r} _{v}={\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial v}}$

로 주어진다. 이제 n을 곡면의 단위 법벡터, (E, F, G)와 (L, M, N)를 곡면의 제1 기본 형식과 제2 기본 형식의 계수들이라 하자. 그러면, 바인가르텐 공식은 다음과 같이 주어진다.

$\mathbf {n} _{u}={\frac {FM-GL}{EG-F^{2}}}\mathbf {r} _{u}+{\frac {FL-EM}{EG-F^{2}}}\mathbf {r} _{v}$

$\mathbf {n} _{v}={\frac {FN-GM}{EG-F^{2}}}\mathbf {r} _{u}+{\frac {FM-EN}{EG-F^{2}}}\mathbf {r} _{v}$

증명

일반적으로,

$\mathbf {n} _{u}=A\mathbf {r} _{u}+B\mathbf {r} _{v}$

$\mathbf {n} _{v}=C\mathbf {r} _{u}+D\mathbf {r} _{v}$

와 같이 쓸 수 있다. 정의에 따라서,

$-L=\mathbf {r} _{u}\cdot \mathbf {n} _{u}=AE+BF$

$-M=\mathbf {r} _{v}\cdot \mathbf {n} _{u}=AF+BG$

$-M=\mathbf {r} _{u}\cdot \mathbf {n} _{v}=CE+DF$

$-N=\mathbf {r} _{v}\cdot \mathbf {n} _{v}=CF+DG$

를 얻는데, 이는 A, B, C, D에 대한 사원 일차 연립방정식이 된다. 이를 풀어 계수 A, B, C, D를 구하면 바인가르텐 공식을 얻는다.