반소환

환론에서 반소환(半素環, 영어: semiprime ring)은 멱영 아이디얼이 영 아이디얼 밖에 없는 환이다. 축소환과 소환의 공통적인 일반화이다.

정의 편집

환에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 환을 반소환이라고 한다.

영 아이디얼이 반소 아이디얼이다.^[1]^{:168, Definition 10.15}
양쪽 아이디얼 $_{R}{\mathfrak {a}}_{R}$ 에 대하여, ${\mathfrak {a}}^{2}=0$ 이라면 ${\mathfrak {a}}=0$ 이다.^[1]^{:169, Proposition 10.16(3)}
왼쪽 아이디얼 $_{R}{\mathfrak {A}}$ 에 대하여, ${\mathfrak {A}}^{2}=0$ 이라면 ${\mathfrak {A}}=0$ 이다.^[1]^{:169, Proposition 10.16(4)}
오른쪽 아이디얼 ${\mathfrak {A}}_{R}$ 에 대하여, ${\mathfrak {A}}^{2}=0$ 이라면 ${\mathfrak {A}}=0$ 이다.^[1]^{:169, Proposition 10.16(4)}

다음 함의 관계가 성립한다.^[1]^:153

가환환의 경우, 이 함의는 다음과 같이 단순해진다.

↑ ^가 ^나 ^다 ^라 ^마 Lam, Tsit-Yuen (2001). 《A first course in noncommutative rings》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 131 2판. Springer. doi:10.1007/978-1-4419-8616-0. ISBN 978-0-387-95183-6. ISSN 0072-5285.

Weisstein, Eric Wolfgang. “Semiprime ring”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.