복소수 벡터 다발

미분기하학에서 복소수 벡터 다발(複素數vector다발, 영어: complex vector bundle)은 올이 복소수 벡터 공간의 구조를 갖추는 매끄러운 벡터 다발이다.

정의

매끄러운 다양체 $M$ 위의 (실수) 매끄러운 벡터 다발 $E\twoheadrightarrow M$ 위의 복소구조는 다음과 같은 벡터 다발 사상이다.

• $J\colon E\to E$
• $J^{2}=-1$

따라서, 임의의 $x\in M$에서, $E$의 올 $E_{x}$에 다음과 같은 유한 차원 복소수 벡터 공간의 구조를 줄 수 있다.

$(a+\mathrm {i} b)=(a+bJ)v$

복소구조를 갖춘 매끄러운 벡터 다발을 복소수 벡터 다발이라고 한다.

연산

켤레 벡터 다발

매끄러운 다양체 $M$ 위의 복소수 벡터 다발 $(E,J)$이 주어졌을 때, $(E,-J)$ 역시 복소수 벡터 다발이다. 이를 $(E,J)$의 켤레 복소수 벡터 다발(영어: conjugate complex vector bundle)이라고 하며, 보통 ${\bar {E}}$로 표기한다.

켤레 복소수 벡터 다발의 천 특성류는 다음과 같다.

$\operatorname {c} _{k}({\bar {E}})=(-)^{k}\operatorname {c} _{k}(E)$

복소화

매끄러운 다양체 $M$ 위의 (실수) 매끄러운 벡터 다발 $E$가 주어졌다고 하자. 그렇다면,

$E^{\mathbb {C} }=E\oplus E$

$J={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}\colon E^{\mathbb {C} }\to E^{\mathbb {C} }$

를 정의할 수 있으며, 이는 복소수 벡터 다발을 이룬다. 이를 $E$의 복소화(영어: complexification)라고 한다.

실수 벡터 다발의 복소화 $E^{\mathbb {C} }$의 경우, 항상 $E^{\mathbb {C} }\cong {\overline {E^{\mathbb {C} }}}$이다. 즉, 스스로의 켤레와 동형이 아닌 복소수 벡터 다발은 실수 벡터 다발의 복소화가 될 수 없다.

추가 구조

에르미트 계량

복소수 매끄러운 벡터 다발 $\pi \colon E\twoheadrightarrow M$ 위의 에르미트 계량(영어: Hermitian metric)은 매끄러운 벡터 다발 ${\bar {E}}^{*}\otimes _{\mathbb {R} }E^{*}$의 매끄러운 단면 가운데, 각 점 $x\in M$에서 $E_{x}$ 양의 정부호 에르미트 형식을 이루는 것이다.

에르미트 계량이 주어졌다면, 켤레 벡터 다발 ${\bar {E}}$는 표준적으로 쌍대 벡터 다발 $E^{*}$과 동형이다.

에르미트 접속

에르미트 계량 $\langle -,-\rangle$를 갖춘 복소수 매끄러운 벡터 다발 $E\twoheadrightarrow M$ 위의 벡터 다발 접속 $\nabla$ 이 주어졌다고 하자. 만약 임의의 두 매끄러운 단면 $s,t\in \Gamma ^{\infty }(M,E)$에 대하여,

$\mathrm {d} \langle s,t\rangle =\langle \nabla s,t\rangle +\langle s,\nabla t\rangle$

가 성립한다면, 이 접속을 에르미트 접속(영어: Hermitian connection)이라고 한다.

다양체는 정의에 따라 파라콤팩트 공간이므로, 모든 복소수 벡터 다발은 (하나 이상의) 에르미트 접속을 갖는다. (물론, 이는 일반적으로 유일하지 않다.)

성질

접다발이 복소수 벡터 다발의 구조를 갖춘 매끄러운 다양체를 개복소다양체라고 한다.

매끄러운 다양체 $M$ 위의 복소수 벡터 다발 $E$가 주어졌으며, 또한 $M$ 자체가 복소다양체를 이룬다고 하자. 이 경우, $E$와 $M$의 복소구조는 서로 호환될 필요는 없다. 다만, 서로 호환되는 경우를 정칙 벡터 다발이라고 한다.

복소수 벡터 다발에 대하여 천 특성류와 오일러 특성류를 정의할 수 있다.

참고 문헌

• Kobayashi, Shoshichi (1987). 《Differential geometry of complex vector bundles》 (PDF). Publications of the Mathematical Society of Japan (영어). Princeton University Press. 

외부 링크

• “Complex vector bundle”. 《nLab》 (영어). 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Complex vector bundle”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.