볼록 함수

해석학에서 볼록 함수는 임의의 두 점을 이은 할선이 두 점을 이은 곡선보다 위에 있는 함수이다. 엄밀히 말하면, $x,y$과 [0,1] 사이의 값 $t$에 대해

볼록함수

볼록함수에서 그림과 같이 색칠한 부분은 항상 볼록 집합이 된다.

$f(tx+(1-t)y)\leq tf(x)+(1-t)f(y)$

가 항상 성립하는 함수 f를 가리킨다.

또는, 임의의 두 점에 대해 그 함수값보다 크거나 같은 점들의 집합이 항상 볼록 집합인 경우 그 함수를 볼록함수라고 정의하기도 한다.

특히 두번 미분가능한 일변수 함수는 이차 도함수가 정의역 전체에서 음수가 아닐 때에만 볼록 함수이다.

볼록함수의 반대, 즉 부등호 방향이 다른 경우는 그 함수를 오목함수라고 정의한다.

외부 링크

• 수학사랑 Q&A - 볼록함수, 젠센부등식