부호 측도

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측도론에서 부호 측도(符號測度, 영어: signed measure)는 측도를 음의 값을 취할 수 있도록 일반화한 개념이다.

정의

가측 공간 $(X,\Sigma )$ 위의 부호 측도는 다음 조건들을 만족시키는 함수 $\mu \colon \Sigma \to {\bar {\mathbb {R} }}$이다.

• (가산 가법성) 임의의 가산 개의 서로소 집합들의 족 ${\mathcal {A}}\subset \Sigma$ ($|{\mathcal {A}}|\leq \aleph _{0}$)에 대하여, $\textstyle \mu \left(\bigcup {\mathcal {A}}\right)=\sum _{A\in {\mathcal {A}}}\mu (A)$
  • 특히, 이는 $\mu (\varnothing )=0$을 함의한다.
  • 특히, 부호 측도는 양과 음의 무한대 값을 동시에 가질 수 없다.

증명:

가산 가법성에서 ${\mathcal {A}}=\varnothing$을 취하면 $\mu (\varnothing )=0$을 얻는다.

만약

$\mu (A)=\infty$

$\mu (B)=-\infty$

인 두 가측 집합 $A,B\in \Sigma$가 존재한다면,

$\infty =\mu (A)+\mu (B\setminus A)=\mu (A\cup B)=\mu (B)+\mu (A\setminus B)=-\infty$

이며, 이는 모순이다.

성질

한 분해와 조르당 분해

가측 공간 $(X,\Sigma )$ 위의 부호 측도 $\mu$에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 $X$의 두 가측 집합 $X^{+},X^{-}\in \Sigma$가 존재하며, 이를 $\mu$의 한 분해(-分解, 영어: Hahn decomposition)라고 한다.

$X^{+}\cap X^{-}=\varnothing$

$X=X^{+}\cup X^{-}$

$\mu (A\cap X^{-})\leq 0\leq \mu (A\cap X^{+})\qquad \forall A\in \Sigma$

한 분해는 일반적으로 유일하지 않지만, $\mu$의 두 한 분해 $(X_{1}^{+},X_{1}^{-})$, $(X_{2}^{+},X_{2}^{-})$에 대하여, 항상 다음이 성립한다.

$\mu (A\cap (X_{1}^{+}\bigtriangleup X_{2}^{+}))=\mu (A\cap (X_{1}^{-}\bigtriangleup X_{2}^{-}))=0\qquad \forall A\in \Sigma$

여기서 $\bigtriangleup$은 대칭차이다.

가측 공간 $(X,\Sigma )$ 위의 부호 측도 $\mu$에 대하여, 다음 조건을 만족시키는, $(X,\Sigma )$ 위의 특이 측도 $\mu ^{+}$, $\mu ^{-}$가 유일하게 존재하며, 이를 $\mu$의 조르당 분해(-分解, 영어: Jordan decomposition)라고 한다.

$\mu =\mu ^{+}-\mu ^{-}$

만약 특이 조건을 없앨 경우 이러한 분해는 유일하지 않다. 조르당 분해는 두 측도의 차로의 분해 가운데 ‘최소’이다. 즉, $\mu =\nu -\lambda$를 만족시키는 두 측도 $\nu$, $\lambda$에 대하여, 항상

$\mu ^{+}\leq \nu$

$\mu ^{-}\leq \lambda$

이다.

조르당 분해는 구체적으로 다음과 같다.

$\mu ^{+}(A)=\mu (A\cap X^{+})=\sup _{\scriptstyle B\in \Sigma \atop \scriptstyle B\subseteq A}\mu (B)$

$\mu ^{-}(A)=\mu (A\cap X^{-})=\sup _{\scriptstyle B\in \Sigma \atop \scriptstyle B\subseteq A}(-\mu (B))\qquad \forall A\in \Sigma$

전변동

가측 공간 $(X,\Sigma )$ 속의 가측 집합 $A\in \Sigma$에 대하여, $\operatorname {Part} (A)$가 $A$의 가산 가측 분할들의 집합이라고 하자.

가측 공간 $(X,\Sigma )$ 위의 부호 측도 $\mu$의 전변동 측도(全變動測度, 영어: total variation measure) $|\mu |$는 다음과 같다.

$|\mu |(A)=\mu ^{+}(A)+\mu ^{-}(A)=\sup _{{\mathcal {P}}\in \operatorname {Part} (A)}\sum _{P\in {\mathcal {P}}}|\mu (P)|\qquad \forall A\in \Sigma$

가측 공간 $(X,\Sigma )$ 위의 부호 측도 $\mu$의 전변동 노름(全變動-, 영어: total variation norm)은 다음과 같다.

$\|\mu \|=|\mu |(X)$

시그마 유한 부호 측도와 유한 부호 측도

시그마 유한 부호 측도(-有限符號測度, 영어: sigma-finite signed measure)는 전변동 측도가 시그마 유한 측도인 부호 측도이다. 유한 부호 측도(有限符號測度, 영어: finite signed measure)는 전변동 측도가 유한 측도인 부호 측도이다. 즉, 전변동 노름이 유한한 부호 측도이다.

측도와 마찬가지로, 주어진 시그마 유한 측도에 대한 모든 절대 연속 부호 측도는 라돈-니코딤 도함수를 갖는다. 특히, 모든 시그마 유한 부호 측도는 전변동 측도에 대한 라돈-니코딤 도함수 $\mathrm {d} \mu /\mathrm {d} |\mu |$를 가지며, 이는 $|\mu |$-거의 어디서나 유한하므로 유한한 값의 함수로 취할 수 있다. 유한 부호 측도는 $\mathrm {d} \mu /\mathrm {d} |\mu |$가 적분 가능한 조건과 동치이다. 시그마 유한 부호 측도 $\mu$에 대하여,

$X^{+}=\left\{x\in X\colon {\frac {\mathrm {d} \mu }{\mathrm {d} |\mu |}}\geq 0\right\}$

$X^{-}=\left\{x\in X\colon {\frac {\mathrm {d} \mu }{\mathrm {d} |\mu |}}<0\right\}$

은 $\mu$의 한 분해를 이루며, $\mu$의 조르당 분해는

$\mu ^{+}=\int _{X}\max \left\{{\frac {\mathrm {d} \mu }{\mathrm {d} |\mu |}},0\right\}\mathrm {d} |\mu |$

$\mu ^{+}=\int _{X}\max \left\{-{\frac {\mathrm {d} \mu }{\mathrm {d} |\mu |}},0\right\}\mathrm {d} |\mu |$

이다.

측도와 마찬가지로, 주어진 시그마 유한 부호 측도에 대하여, 모든 시그마 유한 부호 측도는 르베그 분해를 갖는다.

가측 공간 $(X,\Sigma )$ 위의 유한 부호 측도의 집합은 자연스럽게 실수 벡터 공간을 이루며, 전변동 노름을 갖췄을 때 실수 바나흐 공간을 이룬다.^{:124, Proposition 4.2.6}

함수 $f\colon [a,b]\to \mathbb {R}$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 유계 변동 함수이다.
• 어떤 $(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))$ 위의 유한 부호 측도 $\mu$에 대하여 $f\colon x\mapsto \mu ([a,x])$ ($x\in [a,b]$) 꼴로 나타낼 수 있다.

같이 보기

• 전변동

외부 링크

• “Signed measure”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Hahn decomposition”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Jordan decomposition (of a signed measure)”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Jordan measure decomposition”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.