복소해석학 에서 분지점 (分枝點, 영어 : ramification point )은 두 리만 곡면 사이의 정칙 함수 가 국소적으로 피복 공간 을 이루지 못하는 점이며, 그 상 을 가지점 (-點, 영어 : branch point )이라고 한다. 이러한 정칙 함수 의 역함수 를 정의하려면, 가지점들을 잇는 선분 또는 반직선에서 정의되지 않거나 또는 이 점들에서 불연속적이게 된다. 이러한 선분 또는 반직선을 분지 절단 (分枝切斷, 영어 : branch cut )이라고 한다.
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
두 리만 곡면
Σ
{\displaystyle \Sigma }
Σ
′
{\displaystyle \Sigma '}
정칙 함수
f
:
Σ
→
Σ
′
{\displaystyle f\colon \Sigma \to \Sigma '}
f
{\displaystyle f}
상수 함수 가 아니라고 하자.그렇다면, 점
z
∈
Σ
{\displaystyle z\in \Sigma }
제한 함수
f
↾
f
−
1
(
U
)
:
f
−
1
(
U
)
→
f
(
U
)
{\displaystyle f\upharpoonright f^{-1}(U)\colon f^{-1}(U)\to f(U)}
피복 공간 이 되는,
f
(
z
)
{\displaystyle f(z)}
근방
U
∋
f
(
z
)
{\displaystyle U\ni f(z)}
이 조건이 성립하지 않는 점들의 집합은
Σ
{\displaystyle \Sigma }
이산 공간 을 이루며, 특히 만약
Σ
{\displaystyle \Sigma }
콤팩트 공간 이라면 유한 집합 이다. 이 조건이 성립하지 못하는 점
z
∈
Σ
{\displaystyle z\in \Sigma }
f
{\displaystyle f}
분지점 (分枝點, 영어 : ramification point )이라고 하며, 그 상
f
(
z
)
∈
Σ
′
{\displaystyle f(z)\in \Sigma '}
f
{\displaystyle f}
가지점 (-點, 영어 : branch point )이라고 한다.
분지점의 차수
편집
두 리만 곡면
Σ
{\displaystyle \Sigma }
Σ
′
{\displaystyle \Sigma '}
정칙 함수
f
:
Σ
→
Σ
′
{\displaystyle f\colon \Sigma \to \Sigma '}
z
∈
Σ
{\displaystyle z\in \Sigma }
z
{\displaystyle z}
z
∈
Σ
′
{\displaystyle z\in \Sigma '}
열린 근방
U
∋
z
{\displaystyle U\ni z}
열린집합
V
⊇
f
(
U
)
{\displaystyle V\supseteq f(U)}
복소평면 의 0을 포함하는 두 열린집합
U
~
,
V
~
⊆
C
{\displaystyle {\tilde {U}},{\tilde {V}}\subseteq \mathbb {C} }
0
∈
U
~
∩
V
~
{\displaystyle 0\in {\tilde {U}}\cap {\tilde {V}}}
전단사 정칙 함수
ι
U
:
U
→
U
~
{\displaystyle \iota _{U}\colon U\to {\tilde {U}}}
ι
V
:
V
→
V
~
{\displaystyle \iota _{V}\colon V\to {\tilde {V}}}
자연수
n
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
가 존재한다면,
z
{\displaystyle z}
분지 지표 (分枝指標, 영어 : ramification index )를
n
{\displaystyle n}
ι
V
∘
f
∘
ι
U
−
1
=
(
z
↦
z
n
)
{\displaystyle \iota _{V}\circ f\circ \iota _{U}^{-1}=(z\mapsto z^{n})}
만약 어떤 점의 분지 지표가 0이라면,
f
{\displaystyle f}
연결 성분 에 제한하면) 상수 함수 이다. 만약 어떤 점의 분지 지표가 1이라면, 이 점은 분지점이 아니다. 만약 어떤 점의 차수가 2 이상이라면, 이는 분지점이다.
분지 지표를 갖지 않는 점은 분지점이며, 이 경우를 초월 분지점 (超越分枝點, 영어 : transcendental ramification point )이라고 한다.
분지 절단
편집
정칙 함수
f
:
Σ
→
Σ
′
{\displaystyle f\colon \Sigma \to \Sigma '}
가 상수 함수 가 아니며, 전단사 함수 도 아니라면,
f
{\displaystyle f}
f
{\displaystyle f}
역함수 를 잘 정의하기 위해서는,
f
{\displaystyle f}
리만 곡면 의 경우 무한대)를 잇는 선분 또는 반직선들을 제거하거나 또는 이 점들에서 불연속이게 해야 한다. 이 과정을 분지 절단 (영어 : branch cut , 分枝切斷)이라고 한다. 즉, 이러한 선분
L
⊊
Σ
′
{\displaystyle L\subsetneq \Sigma '}
정칙 함수 인 역함수
f
−
1
:
(
Σ
′
∖
L
)
×
B
→
Σ
{\displaystyle f^{-1}\colon (\Sigma '\setminus L)\times B\to \Sigma }
를 정의할 수 있다. 여기서
B
{\displaystyle B}
f
−
1
(
Σ
′
∖
L
)
↠
Σ
′
∖
L
{\displaystyle f^{-1}(\Sigma '\setminus L)\twoheadrightarrow \Sigma '\setminus L}
이산 공간 이다.
정의역 과 공역 이 리만 구
C
P
1
{\displaystyle \mathbb {CP} ^{1}}
정칙 함수
f
:
C
P
1
→
C
P
1
{\displaystyle f\colon \mathbb {CP} ^{1}\to \mathbb {CP} ^{1}}
f
:
z
↦
z
2
{\displaystyle f\colon z\mapsto z^{2}}
를 생각하자. 이는 두 개의 분지점을 가지며, 그 분지 지표는 다음과 같다.
분지점
z
{\displaystyle z}
가지점
f
(
z
)
{\displaystyle f(z)}
분지 지표
0
0
2
∞
∞
2
이 경우, 역함수
f
−
1
{\displaystyle f^{-1}}
제곱근 함수를 정의하기 위해서는 0에서 ∞로 가는 분지 절단을 가해야 한다. 흔히 이는 음의 실수 반직선
R
−
{\displaystyle \mathbb {R} ^{-}}
으로 한다. 이렇게 하면, 복소수 제곱근 함수
f
−
1
:
C
P
1
∖
R
−
→
C
P
1
{\displaystyle f^{-1}\colon \mathbb {CP} ^{1}\setminus \mathbb {R} ^{-}\to \mathbb {CP} ^{1}}
f
−
1
:
z
↦
z
1
/
2
{\displaystyle f^{-1}\colon z\mapsto z^{1/2}}
를 정의할 수 있다. 이 분지 절단은 구체적으로 다음과 같다.
f
−
1
:
{
r
exp
(
i
θ
)
↦
r
exp
(
i
θ
/
2
)
r
∈
[
0
,
∞
)
,
θ
∈
(
−
π
,
π
)
∞
↦
∞
{\displaystyle f^{-1}\colon {\begin{cases}r\exp(\mathrm {i} \theta )\mapsto {\sqrt {r}}\exp(\mathrm {i} \theta /2)&r\in [0,\infty ),\;\theta \in (-\pi ,\pi )\\\infty \mapsto \infty \end{cases}}}
물론, 다른 분지 절단을 고를 수 있다. 예를 들어, 양의 실수 반직선을 대신 절단할 수도 있다. 이렇게 하여 얻는 분지 절단은 구체적으로 다음과 같다.
f
−
1
:
{
r
exp
(
i
θ
)
↦
r
exp
(
i
θ
/
2
)
r
∈
[
0
,
∞
)
,
θ
∈
(
0
,
2
π
)
∞
↦
∞
{\displaystyle f^{-1}\colon {\begin{cases}r\exp(\mathrm {i} \theta )\mapsto {\sqrt {r}}\exp(\mathrm {i} \theta /2)&r\in [0,\infty ),\;\theta \in (0,2\pi )\\\infty \mapsto \infty \end{cases}}}
정의역 과 공역 이 복소평면 인 정칙 함수
f
:
C
→
C
{\displaystyle f\colon \mathbb {C} \to \mathbb {C} }
f
:
z
↦
exp
z
{\displaystyle f\colon z\mapsto \exp z}
를 생각하자. 그 유일한 분지점은
z
=
0
{\displaystyle z=0}
지수 함수 는 ∞에서 본질적 특이점 을 가져,
C
P
1
{\displaystyle \mathbb {CP} ^{1}}
그 역함수
f
−
1
{\displaystyle f^{-1}}
자연 로그 함수를 정의하기 위해서는 0에서 ∞로 가는 분지 절단을 가해야 한다. 흔히 이는 음의 실수 반직선
R
−
{\displaystyle \mathbb {R} ^{-}}
으로 한다. 이렇게 하면, 복소수 자연 로그 함수
f
−
1
:
C
∖
R
−
→
C
{\displaystyle f^{-1}\colon \mathbb {C} \setminus \mathbb {R} ^{-}\to \mathbb {C} }
f
−
1
:
z
↦
ln
z
{\displaystyle f^{-1}\colon z\mapsto \ln z}
를 정의할 수 있다. 이 분지 절단은 구체적으로 다음과 같다.
f
−
1
:
r
exp
(
i
θ
)
↦
(
ln
r
)
+
i
θ
(
r
∈
[
0
,
∞
)
,
θ
∈
(
−
π
,
π
)
)
{\displaystyle f^{-1}\colon r\exp(\mathrm {i} \theta )\mapsto (\ln r)+\mathrm {i} \theta \qquad \left(r\in [0,\infty ),\;\theta \in (-\pi ,\pi )\right)}
복잡한 예
편집
다음과 같은 역함수를 갖는 함수를 생각하자.
f
−
1
:
z
↦
z
1
−
z
{\displaystyle f^{-1}\colon z\mapsto {\sqrt {z}}{\sqrt {1-z}}}
이 함수
f
{\displaystyle f}
리만 곡면
Σ
0
{\displaystyle \Sigma _{0}}
Σ
0
=
(
C
P
1
∖
[
0
,
1
]
)
×
{
A
,
B
}
⊔
(
0
,
1
)
×
{
C
,
D
}
+
{
0
,
1
,
∞
}
{\displaystyle \Sigma _{0}=\left(\mathbb {CP} ^{1}\setminus [0,1]\right)\times \{{\mathsf {A}},{\mathsf {B}}\}\sqcup (0,1)\times \{{\mathsf {C}},{\mathsf {D}}\}+\{0,1,\infty \}}
여기서
A
{\displaystyle {\mathsf {A}}}
B
{\displaystyle {\mathsf {B}}}
C
{\displaystyle {\mathsf {C}}}
D
{\displaystyle {\mathsf {D}}}
이 조각들을 다음과 같이 이어붙인다.
lim
b
→
0
+
(
a
+
i
b
,
A
)
=
lim
b
→
0
+
(
a
−
i
b
,
B
)
=
(
a
,
C
)
(
0
<
a
<
1
)
{\displaystyle \lim _{b\to 0^{+}}(a+\mathrm {i} b,{\mathsf {A}})=\lim _{b\to 0^{+}}(a-\mathrm {i} b,{\mathsf {B}})=(a,{\mathsf {C}})\qquad \left(0<a<1\right)}
lim
b
→
0
+
(
a
+
i
b
,
B
)
=
lim
b
→
0
+
(
a
−
i
b
,
A
)
=
(
a
,
D
)
(
0
<
a
<
1
)
{\displaystyle \lim _{b\to 0^{+}}(a+\mathrm {i} b,{\mathsf {B}})=\lim _{b\to 0^{+}}(a-\mathrm {i} b,{\mathsf {A}})=(a,{\mathsf {D}})\qquad \left(0<a<1\right)}
lim
b
→
0
+
(
b
,
C
)
=
lim
b
→
0
+
(
b
,
D
)
=
lim
z
→
0
(
z
,
A
)
=
lim
z
→
0
(
z
,
B
)
=
0
{\displaystyle \lim _{b\to 0^{+}}(b,{\mathsf {C}})=\lim _{b\to 0^{+}}(b,{\mathsf {D}})=\lim _{z\to 0}(z,{\mathsf {A}})=\lim _{z\to 0}(z,{\mathsf {B}})=0}
lim
b
→
1
−
(
b
,
C
)
=
lim
b
→
1
−
(
b
,
D
)
=
lim
z
→
1
(
z
,
A
)
=
lim
z
→
1
(
z
,
B
)
=
1
{\displaystyle \lim _{b\to 1^{-}}(b,{\mathsf {C}})=\lim _{b\to 1^{-}}(b,{\mathsf {D}})=\lim _{z\to 1}(z,{\mathsf {A}})=\lim _{z\to 1}(z,{\mathsf {B}})=1}
이는 두 개의 분지점, 즉 0과 1을 갖는다. 두 분지점의 분지 지표는 둘 다 2이다. 분지점 밖에서,
f
:
Σ
0
→
C
P
1
{\displaystyle f\colon \Sigma _{0}\to \mathbb {CP} ^{1}}
피복 공간 을 정의한다.
반대로, 그 역함수
f
−
1
{\displaystyle f^{-1}}
열린구간
(
0
,
1
)
{\displaystyle (0,1)}
위상수학적으로,
Σ
0
{\displaystyle \Sigma _{0}}
리만 구 를 짜깁기한 것이다. “홈”이 파인 리만 구 는 반구와 위상 동형 이므로,
Σ
0
{\displaystyle \Sigma _{0}}
리만 구 이다). 사실, 임의의 종수의 콤팩트 리만 곡면 을 위와 같이 리만 구
C
P
1
{\displaystyle \mathbb {CP} ^{1}}
g
{\displaystyle g}
Σ
g
{\displaystyle \Sigma _{g}}
g
+
1
{\displaystyle g+1}
리만 구 를 짜깁기하여 얻는다.
제곱근이나 로그 등, 복소수에 대한 여러 함수가 일반적으로 어떤 점에서 정의되지 못하거나, 또는 “여러 개의 값을 갖는다”는 현상은 복소수의 발견 이후 곧 알려졌다. 베른하르트 리만 이 1851년에 리만 곡면 을 도입하였으며, 이 현상을 엄밀하게 묘사하였다.
“분지”(分枝)는 나뭇가지(枝 )가 갈라진다(分 )는 뜻으로, 이는 분지점의 상 근처에서 정칙 함수의 “역함수 ”가 “여러 값을 갖는” 모양을 빗댄 것이다.
참고 문헌
편집
외부 링크
편집
![{\displaystyle \Sigma _{0}=\left(\mathbb {CP} ^{1}\setminus [0,1]\right)\times \{{\mathsf {A}},{\mathsf {B}}\}\sqcup (0,1)\times \{{\mathsf {C}},{\mathsf {D}}\}+\{0,1,\infty \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2754fab684ec4367eb02116f164a2f794698e40)
