불변 부분 공간

선형대수학에서, 선형 변환의 불변 부분 공간(不變部分空間, invariant subspace)은 그 선형 변환에 대하여 닫혀있는 부분 벡터 공간이다.

정의

체 $K$에 대한 벡터 공간 $V$ 위의 선형 변환 $T\colon V\to V$가 주어졌다고 하자. 부분 벡터 공간 $W\subset V$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 $W$를 $T$-불변 부분 공간이라고 한다.

• 임의의 $w\in W$에 대하여, $Tw\in W$
• $T(W)\subset W$

보다 일반적으로, $V$ 위의 선형 변환의 족 ${\mathcal {T}}$가 주어졌다고 하자. 부분 벡터 공간 $W\subset V$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 $W$를 ${\mathcal {T}}$-불변 부분 공간이라고 한다.

• 임의의 $T\in {\mathcal {T}}$ 및 $w\in W$에 대하여, $Tw\in W$
• 임의의 $T\in {\mathcal {T}}$에 대하여, $W$는 $T$-불변 부분 공간이다.

성질

선형 변환 $T,U\colon V\to V$가 $TU=UT$를 만족시킨다면, $\ker U$와 $U(V)$는 $T$-불변 부분 공간이다.

증명:

임의의 $v\in \ker U$에 대하여,

$UTv=TUv=T0=0$

이므로, $Tv\in \ker U$. 또한, 임의의 $Uv\in U(V)$에 대하여,

$TUv=UTv\in U(V)$

특히, $T$는 다음과 같은 불변 부분 공간을 갖는다.

• $\{0_{V}\}$
• $V$
• $\ker T$
• $T(V)$
• $V_{\lambda }\qquad (\lambda \in \sigma _{T})$
• $\ker p(T)\qquad (p\in K[x])$

선형 변환 $T\colon V\to V$를 $T$-불변 부분 공간 $W$에 제한시키면 다음과 같은 선형 변환 $T|_{W}$를 얻을 수 있다.

$T|_{W}\colon W\to W$

$T|_{W}\colon w\mapsto Tw$

또한, 몫 벡터 공간 $V/W$ 위에 다음과 같은 선형 변환 $T_{/W}$를 유도할 수 있다.

$T_{/W}\colon V/W\to V/W$

$T_{/W}\colon v+W\mapsto Tv+W$

$T|_{W}$의 특성 다항식은 $T$의 특성 다항식을 나누며, $T|_{W}$의 최소 다항식은 $T$의 최소 다항식을 나눈다.

행렬 표현

다음이 주어졌다고 하자.

• 유한 $n$차원 벡터 공간 $V$
• 선형 변환 $T\colon V\to V$
• $T$-불변 부분 공간 $W$
• $W$의 기저 $\{v_{1},v_{2},\dots ,v_{r}\}$
• $V/W$의 기저 $\{v_{r+1}+W,v_{r+2}+W,\dots ,v_{n}+W\}$

그렇다면, $T,T|_{W},T_{/W}$의 행렬

$A=[T]_{(v_{i})_{i=1}^{n}}$

$B=[T|_{W}]_{(v_{i})_{i=1}^{r}}$

$C=[T_{/W}]_{(v_{i}+W)_{i=r+1}^{n}}$

사이에 다음과 같은 관계가 성립한다.

$A={\begin{pmatrix}B&D\\0&C\end{pmatrix}}\qquad D\in \operatorname {Mat} (r,n-r;K)$

다음이 주어졌다고 하자.

• 유한 $n$차원 벡터 공간 $V$
• 선형 변환 $T\colon V\to V$
• $T$-불변 부분 공간 $W_{1},W_{2},\dots ,W_{k}$. 또한, $V=W_{1}\oplus W_{2}\oplus \cdots \oplus W_{k}$
• $W_{i}$의 기저 $\{v_{i1},v_{i2},\dots ,v_{ir_{i}}\}$

그렇다면, $T,T|_{W_{1}},T|_{W_{2}},\dots ,T|_{W_{k}}$의 위에서 정한 기저에 대한 행렬 $A,A_{1},A_{2},\dots ,A_{k}$ 사이에 다음 관계가 성립한다.

$A={\begin{pmatrix}A_{1}\\&A_{2}\\&&\ddots \\&&&A_{k}\end{pmatrix}}$

외부 링크

• “Invariant subspace”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Invariant subspace problem” (PDF). 《PlanetMath》 (영어). 
• “Definition:Invariant subspace”. 《ProofWiki》 (영어).