브라우너 공간

함수해석학에서 브라우너 공간(Brauner空間, 영어: Brauner space)은 모든 콤팩트 집합을 포함하는 콤팩트 집합렬을 갖는 완비 콤팩트 생성 국소 볼록 공간 $X$이다. 스테레오 공간의 이론에서, 프레셰 공간의 개념의 쌍대 개념이다.

정의

$\mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}$라고 하자.

$\mathbb {K}$-국소 볼록 공간 $X$가 다음 조건들을 모두 만족시킨다면, $\mathbb {K}$-브라우너 공간이라고 한다.

• $X$는 (균등 공간으로서) 완비 균등 공간이다. (여기서 사용된 균등 공간 구조는 아벨 위상군의 표준적 균등 공간 구조이다.)
• 콤팩트 생성 하우스도르프 공간이다.d
• 다음 조건을 만족시키는 콤팩트 집합의 열 $K_{0}\subseteq K_{1}\subseteq K_{2}\subseteq \dotsb \subseteq X$이 존재한다. (그러나 이 데이터는 브라우너 공간의 정의에 포함되지 않는다.)

  임의의 콤팩트 집합 $K\subseteq X$에 대하여, $K\subseteq K_{i}$인 자연수 $i\in \mathbb {N}$가 존재한다. (즉, $\min\{i\in \mathbb {N} \colon K\subseteq K_{i}\}<\infty$이다.)

성질

임의의 $\mathbb {K}$-프레셰 공간 $X$의 연속 쌍대 공간 $X^{*}$ 위에, $X$의 모든 완전 유계 집합에서 균등 수렴하는 위상을 부여한 것을 스테레오 쌍대 공간(영어: stereotype dual space)이라고 하자.

그렇다면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 스테레오 공간 $X$이 브라우너 공간이다.
• 스테레오 쌍대 공간 $X^{*}$은 프레셰 공간이다.

즉, 브라우너 공간의 개념은 프레셰 공간의 개념과 서로 쌍대이다.

예

국소 콤팩트 공간 위의 측도 공간

시그마 콤팩트 국소 콤팩트 공간 $M$이 주어졌다고 하자. 이제, 연속 함수의 공간

${\mathcal {C}}^{0}(M,\mathbb {K} )$

위에, 다음과 같은 수렴 필요 충분 조건으로 정의되는 위상을 부여하자.

임의의 콤팩트 집합 $K\subseteq M$에 대하여, 함수열 $f_{i}\upharpoonright K$는 $f\upharpoonright K$로 균등 수렴한다.

그렇다면 이는 위상 벡터 공간을 이룬다. 그 연속 쌍대 공간

$X=({\mathcal {C}}^{0}(M,\mathbb {K} ))^{*}$

은 측도의 공간으로 해석할 수 있다. 이 위에 다음과 같은 수렴 필요 충분 조건으로 정의되는 위상을 부여하자.

임의의 콤팩트 집합 ${\mathcal {K}}\subseteq {\mathcal {C}}^{0}(M,\mathbb {K} )$에 대하여, 범함수열 $\phi _{i}\upharpoonright {\mathcal {K}}$는 $\phi _{i}\upharpoonright {\mathcal {K}}$로 균등 수렴한다.

그렇다면, $X$는 브라우너 공간이다.

매끄러운 다양체 위의 분포 공간

매끄러운 다양체 $M$이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 매끄러운 함수의 공간

${\mathcal {C}}^{\infty }(M,\mathbb {K} )$

위에, 다음과 같은 수렴 필요 충분 조건으로 정의되는 위상을 부여하자.

• 임의의 콤팩트 공간 $K\subseteq M$에 대하여, 함수열 $f_{i}$의 임의의 차수 도함수 $\nabla _{X_{1}}\nabla _{X_{2}}\dotsb \nabla _{X_{n}}f_{i}$는 $K$ 위에서 $\nabla _{X_{1}}\dotsb \nabla _{X_{n}}f$로 균등 수렴한다.

이제, 이 위상 벡터 공간의 연속 쌍대 공간

$X=({\mathcal {C}}^{\infty }(M,\mathbb {K} ))^{*}$

은 분포의 공간으로 해석할 수 있다. 이 위에 다음과 같은 수렴 필요 충분 조건으로 정의되는 위상을 부여하자.

임의의 유계 집합 ${\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {C}}^{0}(M,\mathbb {K} )$에 대하여, 범함수열 $\phi _{i}\upharpoonright {\mathcal {B}}$는 $\phi _{i}\upharpoonright {\mathcal {B}}$로 균등 수렴한다.

그렇다면, $X$는 브라우너 공간이다.

슈타인 다양체

$M$이 슈타인 다양체(영어: Stein manifold)라고 하자. ${\mathcal {O}}(M)$을 $M$에 있는 콤팩트 집합의 균등수렴의 일반적인 위상을 가진 $M$에 있는 정칙함수의 공간이라고 두자. ${\mathcal {O}}(M)$에 있는 유계 집합의 균등수렴의 일반적인 위상을 가진 $M$에 있는 해석적 범함수의 쌍대 공간 ${\mathcal {O}}^{\star }(M)$은 브라우너 공간이다.

또한, $G$를 콤팩트 생성 슈타인 군이라고 하자. $G$의 지수형 정칙 함수(영어: exponential-type holomorphic function)의 공간 ${\mathcal {O}}_{\exp }(G)$은 자연위상의 관점에서 볼 때 브라우너 공간이다.

역사

칼만 조지 브라우너 2세(영어: Kalman George Brauner, Jr.)가 이 개념을 최초로 연구하였다.

참고 문헌

• Schaefer, Helmuth H. (1966). 《Topological vector spaces》. New York: The MacMillan Company. ISBN 0-387-98726-6. 

• Robertson, A.P.; Robertson, W.J. (1964). 《Topological vector spaces》. Cambridge Tracts in Mathematics 53. Cambridge University Press. 
• Brauner, K. (1973). “Duals of Frechet spaces and a generalization of the Banach-Dieudonne theorem”. 《Duke Math. Jour.》 40 (4): 845–855. doi:10.1215/S0012-7094-73-04078-7. 
• Akbarov, S.S. (2003). “Pontryagin duality in the theory of topological vector spaces and in topological algebra”. 《Journal of Mathematical Sciences》 113 (2): 179–349. doi:10.1023/A:1020929201133. 
• Akbarov, S.S. (2009). “Holomorphic functions of exponential type and duality for Stein groups with algebraic connected component of identity”. 《Journal of Mathematical Sciences》 162 (4): 459–586. doi:10.1007/s10958-009-9646-1. (구독 필요).