미분기하학 에서 수직 벡터 다발 (垂直vector-, 영어 : vertical vector bundle )은 올다발 의 접다발 속의 특별한 부분 벡터 다발이다. 대략, 밑공간의 접다발을 "수평" 방향으로 간주하였을 때, 수직 벡터 다발은 순수하게 올 방향의, 즉 "수직" 방향의 벡터들로 구성된다.
반면, 올다발의 접다발 속의 "수평 벡터 다발"은 일반적으로 추가 구조 없이 정의되지 않는다. 이를 정의하기 위한 추가 구조는 에레스만 접속
매끄러운 다양체
M
{\displaystyle M}
매끄러운 올다발
π
:
E
↠
M
{\displaystyle \pi \colon E\twoheadrightarrow M}
이 주어졌다고 하고,
E
{\displaystyle E}
E
{\displaystyle E}
매끄러운 다양체 를 이룬다고 하자. 사영 사상의 미분
T
π
:
T
E
↠
T
M
{\displaystyle \mathrm {T} \pi \colon \mathrm {T} E\twoheadrightarrow \mathrm {T} M}
을 정의할 수 있다. 그렇다면,
E
{\displaystyle E}
수직 벡터 다발
V
E
{\displaystyle \mathrm {V} E}
V
E
=
ker
(
T
π
)
{\displaystyle \mathrm {V} E=\ker(\mathrm {T} \pi )}
즉,
V
e
E
=
T
e
(
E
π
(
e
)
)
∀
e
∈
E
{\displaystyle \mathrm {V} _{e}E=\mathrm {T} _{e}(E_{\pi (e)})\qquad \forall e\in E}
∀
u
∈
T
e
E
:
(
u
∈
V
e
E
⟺
∀
(
γ
:
R
→
E
,
γ
(
0
)
=
e
)
:
d
γ
d
t
(
0
)
=
u
⟹
d
(
π
∘
γ
)
d
t
(
0
)
=
0
)
{\displaystyle \forall u\in T_{\mathrm {e} }E\colon \left(u\in \mathrm {V} _{e}E\iff \forall (\gamma \colon \mathbb {R} \to E,\;\gamma (0)=e)\colon {\frac {\mathrm {d} \gamma }{\mathrm {d} t}}(0)=u\implies {\frac {\mathrm {d} (\pi \circ \gamma )}{\mathrm {d} t}}(0)=0\right)}
즉, 벡터 다발
V
{\displaystyle V}
e
∈
E
{\displaystyle e\in E}
E
{\displaystyle E}
접공간 이다.
E
{\displaystyle E}
벡터장
X
{\displaystyle X}
X
∈
Γ
(
T
E
)
{\displaystyle X\in \Gamma (\mathrm {T} E)}
x
∈
M
{\displaystyle x\in M}
X
x
∈
V
e
E
{\displaystyle X_{x}\in \mathrm {V} _{e}E}
X
{\displaystyle X}
수직 벡터장 (垂直vector場, 영어 : vertical vector field )이라고 한다. 마찬가지로,
E
{\displaystyle E}
p
{\displaystyle p}
미분 형식
α
∈
Ω
p
(
E
)
{\displaystyle \alpha \in \Omega ^{p}(E)}
α
(
X
1
,
X
2
,
…
,
X
p
)
=
0
∀
X
1
,
…
,
X
p
∈
Γ
(
V
E
)
{\displaystyle \alpha (X_{1},X_{2},\dots ,X_{p})=0\qquad \forall X_{1},\dots ,X_{p}\in \Gamma (\mathrm {V} E)}
라면,
α
{\displaystyle \alpha }
수평 미분 형식 (水平微分形式, 영어 : horizontal differential form )이라고 한다.
수직 벡터 다발의 정의에 따라, 짧은 완전열
0
→
V
E
↪
T
E
↠
π
∗
T
π
π
∗
T
M
→
0
{\displaystyle 0\to \mathrm {V} E\hookrightarrow \mathrm {T} E\;{\overset {\pi ^{*}\mathrm {T} \pi }{\twoheadrightarrow }}\;\pi ^{*}\mathrm {T} M\to 0}
이 존재한다. 이를 아티야 완전열 (Atiyah完全列, 영어 : Atiyah exact sequence )이라고 한다. (여기서
π
∗
T
π
:
(
e
,
u
)
↦
(
e
,
T
π
(
u
)
)
{\displaystyle \pi ^{*}\mathrm {T} \pi \colon (e,u)\mapsto (e,\mathrm {T} \pi (u))}
분할 완전열 이지만, 이러한 분할은 (추가 데이터 없이) 표준적으로 주어지지 않는다.
E
{\displaystyle E}
에레스만 접속 은 위 분할을 표준적으로 제시하는 데이터이다.
두 매끄러운 다양체
M
{\displaystyle M}
F
{\displaystyle F}
E
=
M
×
F
{\displaystyle E=M\times F}
M
{\displaystyle M}
F
←
proj
2
E
→
proj
1
M
{\displaystyle F{\xleftarrow {\operatorname {proj} _{2}}}E{\xrightarrow {\operatorname {proj} _{1}}}M}
이 경우, 자연스럽게
T
(
m
,
f
)
E
=
T
m
M
⊕
T
f
F
(
∀
m
∈
M
,
,
f
∈
F
)
{\displaystyle \mathrm {T} _{(m,f)}E=\mathrm {T} _{m}M\oplus \mathrm {T} _{f}F\qquad (\forall m\in M,\;,f\in F)}
이며, 수직 벡터 다발
V
E
{\displaystyle \mathrm {V} E}
V
E
=
proj
2
∗
T
F
⊆
T
E
{\displaystyle \mathrm {V} E=\operatorname {proj} _{2}^{*}\mathrm {T} F\subseteq \mathrm {T} E}
(이 경우, 자연스럽게 "수평 벡터 다발"
proj
1
∗
T
M
⊆
T
E
{\displaystyle \operatorname {proj} _{1}^{*}\mathrm {T} M\subseteq \mathrm {T} E}
리 군
G
{\displaystyle G}
π
:
E
↠
M
{\displaystyle \pi \colon E\twoheadrightarrow M}
G
{\displaystyle G}
주다발 이라고 하자. 이 경우, 수직 벡터 다발
V
E
{\displaystyle \mathrm {V} E}
리 대수
g
=
T
1
G
{\displaystyle {\mathfrak {g}}=\mathrm {T} _{1}G}
벡터 다발 과 동형이다.
V
E
≅
g
×
E
{\displaystyle \mathrm {V} E\cong {\mathfrak {g}}\times E}
구체적으로, 우선, 임의의
m
∈
M
{\displaystyle m\in M}
G
{\displaystyle G}
벡터장 의 족을
X
:
g
→
Γ
(
T
P
)
{\displaystyle X\colon {\mathfrak {g}}\to \Gamma (\mathrm {T} P)}
X
:
x
↦
X
x
{\displaystyle X\colon x\mapsto X_{x}}
로 표기하자. 그렇다면, 위 작용이 정추이적 작용 이므로,
X
{\displaystyle X}
상 은
P
{\displaystyle P}
V
P
=
ker
(
T
π
)
⊆
T
P
{\displaystyle \mathrm {V} P=\ker(\mathrm {T} \pi )\subseteq \mathrm {T} P}
벡터 다발 의 표준적인 동형 사상
P
×
g
→
V
P
{\displaystyle P\times {\mathfrak {g}}\to \mathrm {V} P}
를 정의한다. (좌변은 올이
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
벡터 다발 이다.)
매끄러운 다양체
M
{\displaystyle M}
매끄러운 벡터 다발
π
:
E
↠
M
{\displaystyle \pi \colon E\twoheadrightarrow M}
E
{\displaystyle E}
당김
π
∗
E
=
E
×
M
E
{\displaystyle \pi ^{*}E=E\times _{M}E}
[1] :55, §6.11
V
E
≅
π
∗
E
=
E
×
M
E
{\displaystyle \mathrm {V} E\cong \pi ^{*}E=E\times _{M}E}
