순서체

수학에서 순서체(順序體, 영어: ordered field)는 전순서가 주어진 체이다.

정의

순서체 공리계는 두 가지 방법으로 정의할 수 있으며, 이 두 가지는 서로 동치이다.

첫 번째 정의는 다음과 같다. 체 $(F,+,*)$와 전순서 $\leq$는 다음의 두 조건을 만족할 경우 순서체이다.

1. $a\leq b$이면 $a+c\leq b+c$이다.
2. $0\leq a,b$이면 $0\leq ab$이다.

두 번째 정의는 양의 부분집합을 정의하는 방법이다. 집합 $P\subset F$가 존재하여 다음의 세 조건을 만족한다.

1. $a,b\in P$이면 $ab\in P$ 그리고 $a+b\in P$이다.
2. $a\in F$인 모든 원소에 대해 $a^{2}\in P$이다.
3. $-1\not \in P$이다.

이때 $P$는 $F$의 양수뿔(영어: positive cone)이라고 부른다. 이때 전순서 $\leq$를 다음과 같이 정의한다.

$a\leq b\iff b-a\in P$

성질

• $x\leq y,y\leq z$이면 $x\leq z$이다.
• $x\leq y,z>0$이면 $xz\leq yz$이다.
• 모든 수 $a$는 $-a\leq 0\leq a$이거나 $a\leq 0\leq -a$이다.
• 순서체의 부분체는 역시 순서체이다.
• 가장 작은 순서체는 유리수체와 동형이며, 아르키메데스 성질을 가진다.

예

유리수 · 실수 · 대수적 수 · 계산 가능한 수 · 초실수는 모두 순서체를 이룬다. 초현실수의 모임은 (집합론적 크기 문제를 무시하면) 순서체를 이룬다.

실계수 유리 함수체는 다음과 같은 방식으로 순서체를 만들 수 있다.

• $x>c$, 여기에서 $c$는 모든 실수 상수이다.
• $p(x)=p_{0}x^{n}+\cdots$, $q(x)=q_{0}x^{m}+\cdots$일 때 ${\frac {p(x)}{q(x)}}>0\iff {\frac {p_{0}}{q_{0}}}>0$.

이렇게 구성되는 순서체는 아르키메데스 성질이 없다.

반면, 유한체와 p진수체는 순서체를 이룰 수 없다.

외부 링크

• “Ordered field”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.