신발끈 공식 (―公式)은 좌표평면 상에서 꼭짓점의 좌표를 알 때 다각형 의 면적 을 구할 수 있는 방법이다. 다각형의 각 꼭짓점의 좌푯값을 교차하여 곱하는 모습이 신발끈 을 묶을 때와 같아 이러한 이름이 붙었다.[1] 가우스 의 면적 공식사선 공식 (斜線 公式)으로도 불린다. 이 공식은 측량이나 임업과 같은 여러 분야에도 응용될 수 있다.[2]
신발끈 공식은 1769년에 수학자 마이스터 알베르트 루드비히 프레드리히(Meister Albrecht Ludwig Friedrich, 1724-1788)가 발견했으며[3] 삼각형 으로 나누는 방식으로 증명할 수 있으며, 그린 정리 의 특수한 형태로 볼 수도 있다.
이 공식은 다각형에서 각각의 모서리마다 임의의 선분 AB를 잡고, 원점 O를 꼭짓점으로 하는 삼각형 ABO의 넓이를 계산하여, 평행사변형의 넓이와 같은 벡터곱 을 구하고 2로 나눔으로써 유도된다. 다각형 주변을 감싸게 되면, 양의 면적과 음의 면적을 지니는 이 삼각형들은 겹쳐지고 원점과 다각형 사이의 면적이 상쇄되어 0이 되는데, 이때 기준으로 한 삼각형의 면적만은 남게 된다. 원점에서 바라볼 때 반시계 방향으로 돈다면, 왼쪽에서 오른쪽으로 가면서 양의 면적이 더해지고, 오른쪽에서 왼쪽으로 가면서 음의 면적이 더해진다.
이 공식은 두 개 이상의 변들이 서로 교차하는 형태의 다각형이 아니라면, 볼록다각형이든 오목다각형이든 관계없이 적용시킬 수 있다.
다각형의 면적을
A
{\displaystyle A}
n
{\displaystyle n}
i
=
1
,
2
,
⋯
,
n
{\displaystyle i=1,2,\cdots ,n}
(
x
i
,
y
i
)
{\displaystyle (x_{i},y_{i})}
A
=
1
2
|
∑
i
=
1
n
−
1
x
i
y
i
+
1
+
x
n
y
1
−
∑
i
=
1
n
−
1
x
i
+
1
y
i
−
x
1
y
n
|
=
1
2
|
x
1
y
2
+
x
2
y
3
+
⋯
+
x
n
−
1
y
n
+
x
n
y
1
−
x
2
y
1
−
x
3
y
2
−
⋯
−
x
n
y
n
−
1
−
x
1
y
n
|
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} &={1 \over 2}{\Big |}\sum _{i=1}^{n-1}x_{i}y_{i+1}+x_{n}y_{1}-\sum _{i=1}^{n-1}x_{i+1}y_{i}-x_{1}y_{n}{\Big |}\\&={1 \over 2}|x_{1}y_{2}+x_{2}y_{3}+\cdots +x_{n-1}y_{n}+x_{n}y_{1}-x_{2}y_{1}-x_{3}y_{2}-\cdots -x_{n}y_{n-1}-x_{1}y_{n}|\\\end{aligned}}}
또는, 다음과 같이 나타낼 수도 있다.[2] [4] [5]
x
n
+
1
=
x
1
,
x
0
=
x
n
,
y
n
+
1
=
y
1
,
y
0
=
y
n
{\displaystyle x_{n+1}=x_{1},x_{0}=x_{n},y_{n+1}=y_{1},y_{0}=y_{n}}
A
=
1
2
|
∑
i
=
1
n
x
i
(
y
i
+
1
−
y
i
−
1
)
|
=
1
2
|
∑
i
=
1
n
y
i
(
x
i
+
1
−
x
i
−
1
)
|
=
1
2
|
∑
i
=
1
n
x
i
y
i
+
1
−
x
i
+
1
y
i
|
=
1
2
|
∑
i
=
1
n
det
(
x
i
x
i
+
1
y
i
y
i
+
1
)
|
{\displaystyle \mathbf {A} ={1 \over 2}{\Big |}\sum _{i=1}^{n}x_{i}(y_{i+1}-y_{i-1}){\Big |}={1 \over 2}{\Big |}\sum _{i=1}^{n}y_{i}(x_{i+1}-x_{i-1}){\Big |}={1 \over 2}{\Big |}\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i}{\Big |}={1 \over 2}{\Big |}\sum _{i=1}^{n}\det {\begin{pmatrix}x_{i}&x_{i+1}\\y_{i}&y_{i+1}\end{pmatrix}}{\Big |}}
꼭짓점들에 반시계방향으로 차례로 번호를 매긴다면, 위의 행렬식 은 양의 값을 지니므로 절댓값 부호를 생략할 수 있다.[6] 그린 정리 의 특수한 경우로 볼 수 있기 때문이다.
이 공식으로 다각형의 넓이를 구하기 위해서는 좌표평면 위에서의 좌푯값을 알아야 한다.
1번째
x
{\displaystyle x}
y
{\displaystyle y}
x
{\displaystyle x}
y
{\displaystyle y}
x
{\displaystyle x}
y
{\displaystyle y}
y
{\displaystyle y}
x
{\displaystyle x}
y
{\displaystyle y}
x
{\displaystyle x}
y
{\displaystyle y}
x
{\displaystyle x}
2
{\displaystyle 2}
[7]
A
3
=
1
2
|
x
1
y
2
+
x
2
y
3
+
x
3
y
1
−
x
2
y
1
−
x
3
y
2
−
x
1
y
3
|
{\displaystyle \mathbf {A} _{\text{3}}={1 \over 2}|x_{1}y_{2}+x_{2}y_{3}+x_{3}y_{1}-x_{2}y_{1}-x_{3}y_{2}-x_{1}y_{3}|}
이때
x
i
,
y
i
{\displaystyle x_{i},y_{i}}
(
2
,
1
)
,
(
4
,
5
)
,
(
7
,
8
)
{\displaystyle (2,1),(4,5),(7,8)}
삼각형 을 생각하면, 그 넓이는
10
+
32
+
7
−
4
−
35
−
16
{\displaystyle 10+32+7-4-35-16}
3
{\displaystyle 3}
n
=
3
{\displaystyle n=3}
i
=
1
,
2
,
3
,
4
{\displaystyle i=1,2,3,4}
사각형 의 넓이는 아래와 같이 구한다.
A
4
=
1
2
|
x
1
y
2
+
x
2
y
3
+
x
3
y
4
+
x
4
y
1
−
x
2
y
1
−
x
3
y
2
−
x
4
y
3
−
x
1
y
4
|
{\displaystyle \mathbf {A} _{\text{4}}={1 \over 2}|x_{1}y_{2}+x_{2}y_{3}+x_{3}y_{4}+x_{4}y_{1}-x_{2}y_{1}-x_{3}y_{2}-x_{4}y_{3}-x_{1}y_{4}|}
i
=
1
,
2
,
⋯
,
5
{\displaystyle i=1,2,\cdots ,5}
오각형 의 넓이는 아래와 같이 구한다.
A
5
=
1
2
|
x
1
y
2
+
x
2
y
3
+
x
3
y
4
+
x
4
y
5
+
x
5
y
1
−
x
2
y
1
−
x
3
y
2
−
x
4
y
3
−
x
5
y
4
−
x
1
y
5
|
{\displaystyle \mathbf {A} _{\text{5}}={1 \over 2}|x_{1}y_{2}+x_{2}y_{3}+x_{3}y_{4}+x_{4}y_{5}+x_{5}y_{1}-x_{2}y_{1}-x_{3}y_{2}-x_{4}y_{3}-x_{5}y_{4}-x_{1}y_{5}|}
볼록다각형이 아닌 오목다각형에서도 똑같은 방법을 사용할 수 있다. 좌표가
(
3
,
4
)
,
(
5
,
11
)
,
(
12
,
8
)
,
(
9
,
5
)
,
(
5
,
6
)
{\displaystyle (3,4),(5,11),(12,8),(9,5),(5,6)}
오목다각형 의 예시이 도형의 넓이는
A
=
1
2
|
3
×
11
+
5
×
8
+
12
×
5
+
9
×
6
+
5
×
4
−
4
×
5
−
11
×
12
−
8
×
9
−
5
×
5
−
6
×
3
|
=
60
2
=
30
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} &={1 \over 2}|3\times 11+5\times 8+12\times 5+9\times 6+5\times 4\\&{}\qquad {}-4\times 5-11\times 12-8\times 9-5\times 5-6\times 3|\\[10pt]&={60 \over 2}=30\end{aligned}}}
이다.
이름의 유래
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이 공식은 보통 행렬 의 형태를 이용하여 쓰이는데, 그 꼴이 신발끈 을 묶는 모양과 비슷하여 신발끈 공식이라는 이름이 붙었다. 꼭짓점의 좌표 가 차례로
(
2
,
4
)
,
(
3
,
−
8
)
,
(
1
,
2
)
{\displaystyle (2,4),(3,-8),(1,2)}
삼각형 을 생각하자. 각 꼭짓점의 좌푯값을
(
2
,
4
)
{\displaystyle (2,4)}
(
2
,
4
)
{\displaystyle (2,4)}
[8]
[
2
4
3
−
8
1
2
2
4
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}2&4\\3&-8\\1&2\\2&4\end{bmatrix}}}
우선 왼쪽 위에서 오른쪽 바로 한 칸 아래로 직선을 그으면 아래와 같이 된다.
이때 선으로 연결된 두 숫자를 곱해서 모두 더하면,
2
×
(
−
8
)
+
3
×
2
+
1
×
4
=
−
6
{\displaystyle 2\times (-8)+3\times 2+1\times 4=-6}
마찬가지로 이어진 두 수를 곱해 모두 더한 값은
4
×
3
+
(
−
8
)
×
1
+
2
×
2
=
8
{\displaystyle 4\times 3+(-8)\times 1+2\times 2=8}
1
2
{\displaystyle {\frac {1}{2}}}
1
2
|
8
−
(
−
6
)
|
=
7
{\displaystyle {\frac {1}{2}}\left|8-(-6)\right|=7}
이렇게 숫자를 모두 적어 선분으로 이은 꼴이 신발끈 이 묶인 신발 의 모양과 같아, 신발끈 공식이라는 이름이 붙었다.
같이 보기
편집
↑ Dahlke, Karl. “Shoelace Formula” . 2008년 6월 9일에 확인함 . ↑ 가 나 Hans Pretzsch, Forest Dynamics, Growth and Yield: From Measurement to Model ISBN 3-540-88306-1 , p. 232.
↑ Meister, A. L. F. (1769), “Generalia de genesi figurarum planarum et inde pendentibus earum affectionibus” , 《Nov. Com. Gött.》 (라틴어) 1 : 144 ↑ 왜지Shoelace Theorem , Art of Problem Solving Wiki .
↑ Weisstein, Eric W . “Polygon Area” . 《Wolfram MathWorld》. 2012년 7월 24일에 확인함 . ↑ Bart Braden (1986). “The Surveyor’s Area Formula” (PDF) . 《The College Mathematics Journal》 17 (4): 326–337. doi :10.2307/2686282 . 2015년 4월 6일에 원본 문서 (PDF) 에서 보존된 문서. 2016년 6월 5일에 확인함 . ↑ Richard Rhoad; George Milauskas; Robert Whipple (1991). 《Geometry for Enjoyment and Challenge》 new판. McDougal Littell. 717–718쪽. ISBN 0-86609-965-4 ↑ IMSA JHMC Guide, Page. 10 "Shoelace" by Cindy Xi
.svg)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} &={1 \over 2}|3\times 11+5\times 8+12\times 5+9\times 6+5\times 4\\&{}\qquad {}-4\times 5-11\times 12-8\times 9-5\times 5-6\times 3|\\[10pt]&={60 \over 2}=30\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/276683f8e2bba28ac9b98349225ed869479d7813)
