아벨 극한 정리

해석학에서 아벨 극한 정리(-極限定理, 영어: Abel's limit theorem)는 수렴 영역의 어떤 경계점에서 수렴하는 멱급수의 성질에 대한 정리이다.^{:41-42, §2.5}

정의

중심이 0인 실수 멱급수

$\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}\qquad (a_{0},a_{1},a_{2},\dots \in \mathbb {R} )$

의 수렴 반지름이 $0<r<\infty$이라고 하자. 아벨 극한 정리에 따르면, 만약

$\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}r^{n}$

이 수렴한다면, 다음이 성립한다.^{:177, §20, Theorem 100}

$\lim _{x\to r^{-}}\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}r^{n}$

또한, 만약

$\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(-r)^{n}$

이 수렴한다면, 다음이 성립한다.^{:178, §20}

$\lim _{x\to (-r)^{+}}\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(-r)^{n}$

증명

편의상 $r=1$이고^{:220, §11.2}

$\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}$

이 수렴한다고 가정하자. 이 경우 멱급수가 $[0,1]$에서 균등 수렴함을 보이는 것으로 족하다. 두 함수열 $(f_{n},g_{n}\colon [0,1]\to \mathbb {R} )_{n=0}^{\infty }$를 다음과 같이 정의하자.

$f_{n}(x)=a_{n}\qquad (x\in [0,1],\;n\geq 0)$

$g_{n}(x)=x^{n}\qquad (x\in [0,1],\;n\geq 0)$

그렇다면,

$\sum _{n=0}^{\infty }f_{n}(x)$

는 $[0,1]$에서 균등 수렴하고, 임의의 $x\in [0,1]$에 대하여, $(g_{n}(x))_{n=0}^{\infty }$는 감소 수열이다. 또한, 임의의 $x\in [0,1]$ 및 $n\geq 0$에 대하여,

$|g_{n}(x)|\leq 1$

이다. 아벨 판정법에 의하여,

$\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}$

은 $[0,1]$에서 균등 수렴한다.

따름정리

아벨 극한 정리에 따라, 만약 실수 멱급수가 수렴 구간의 오른쪽 끝점에서 수렴한다면 이 끝점에서 좌연속 함수이고, 왼쪽 끝점에서 수렴한다면 이 끝점에서 우연속 함수이다. 즉, 실수 멱급수는 전체 수렴 구간에서 연속 함수이다.^{:221, §11.2, 따름정리2} 그러나, 복소수 멱급수는 수렴 영역의 경계점에서 수렴하더라도, 이 경계점에서 연속 함수가 아닐 수 있다.

예

아벨 극한 정리는 급수를 적분으로 변환시켜 구할 때 종종 이용된다. 이는 아벨의 합 공식이 이상 적분을 변수를 포함하는 이상 적분의 극한으로 변환시켜 구하는 것과 비슷하다. 예를 들어, 급수

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{3n+1}}=1-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{7}}-\cdots$

를 계산해 보자. (이 급수는 교대급수 판정법에 의하여 수렴한다.) 다음과 같은 함수 $f\colon [0,1]\to \mathbb {R}$를 정의하자.

$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{3n+1}}{3n+1}}\qquad (x\in [0,1])$

그렇다면, 아벨 극한 정리에 의하여 $f$는 연속 함수이다. 임의의 $x\in [0,1)$에 대하여

$f'(x)=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}x^{3n}={\frac {1}{1+x^{3}}}$

이므로, 임의의 $x\in [0,1)$에 대하여

$f(x)=f(0)+\int _{0}^{x}f'(x)\mathrm {d} x={\frac {1}{6}}\ln {\frac {(x+1)^{2}}{x^{2}-x+1}}+{\frac {1}{\sqrt {3}}}\arctan {\frac {2x-1}{\sqrt {3}}}+{\frac {\pi }{6{\sqrt {3}}}}$

이다. 따라서,

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{3n+1}}=f(1)=\lim _{x\to 1^{-}}f(x)={\frac {1}{3}}\ln 2+{\frac {\pi }{3{\sqrt {3}}}}$

이다.

일반화

경계점에서 무한대로 발산하는 경우

중심이 0이고 모든 계수가 음이 아닌 실수인 멱급수

$\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}\qquad (a_{0},a_{1},a_{2},\dots \geq 0)$

의 수렴 반지름이 $0<r<\infty$이고,

$\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}r^{n}=\infty$

라고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.^{:178, §20}

$\lim _{x\to r^{-}}\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}=\infty$

경계점에서 수렴하지 않는 경우

중심이 0인 실수 멱급수

$\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}\qquad (a_{0},a_{1},a_{2},\dots \in \mathbb {R} )$

의 수렴 반지름이 $0<r<\infty$라고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.^{:189, Exercise 70}

$\liminf _{n\to \infty }\sum _{k=0}^{n}a_{k}r^{k}\leq \limsup _{x\to r^{-}}\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}\leq \limsup _{n\to \infty }\sum _{k=0}^{n}a_{k}r^{k}$

복소수의 경우

중심이 0인 복소수 멱급수

$\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}\qquad (a_{0},a_{1},a_{2},\dots \in \mathbb {C} )$

의 수렴 반지름이 $0<r<\infty$이고, $|\zeta |=r$인 어떤 $\zeta \in \mathbb {C}$에 대하여

$\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\zeta ^{n}$

이 수렴한다고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.

$\lim _{t\to 1^{-}}\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(t\zeta )^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\zeta ^{n}$

보다 일반적으로, 곡선 $\gamma \colon [0,1]\to \operatorname {ball} _{\mathbb {C} }(0,r)\cup \{\zeta \}$가 다음을 만족시킨다고 하자. (여기서 $\operatorname {ball}$은 열린 공이다.)

• $\gamma (1)=\zeta$
• $\sup _{t\in [0,1)}{\frac {|\zeta -\gamma (t)|}{|\zeta |-|\gamma (t)|}}<\infty$

그렇다면, 다음이 성립한다.^{:41, §2.5, Theorem 3}

$\lim _{t\to 1^{-}}\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\gamma (t)^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\zeta ^{n}$

역사

독일의 수학자 카를 프리드리히 가우스가 처음 제시하였다. 그러나 가우스가 제시한 증명은 증명되지 않은 결론을 사용하는 오류를 포함한다. 노르웨이의 수학자 닐스 헨리크 아벨의 이름을 땄다.

참고 문헌

• 김락중; 박종안; 이춘호; 최규흥 (2007). 《해석학 입문》 3판. 경문사. ISBN 978-8-96-105054-8. 

외부 링크

• “Abel theorem”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Abel's convergence theorem”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.