아핀 사상

대수기하학에서, 아핀 사상(affine寫像, 영어: affine morphism)은 모든 아핀 열린집합의 원상이 아핀 열린집합인 스킴 사상이다. 아핀 스킴의 개념의 상대화(相對化)이다.

정의

두 스킴 $X$, $Y$ 사이의 스킴 사상 $f\colon X\to Y$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 스킴 사상을 아핀 사상이라고 한다.

• $Y$의 임의의 아핀 열린집합 $\operatorname {Spec} R\cong U\subseteq Y$에 대하여, 열린집합 $f^{-1}(U)\subseteq X$ 역시 아핀 스킴이다.^{:128, Exercise II.5.17(a)}
• 모든 $f$-원상이 아핀 열린집합이 되는 아핀 열린집합 $U_{i}\subseteq Y$들로 구성된 $Y$의 덮개 $(U_{i})_{i\in I}$가 존재한다.^{:128, Exercise II.5.17}

성질

다음이 주어졌다고 하자.

• 분리 스킴 $X\to \operatorname {Spec} \mathbb {Z}$
• 스킴 $Y$
• 준콤팩트 함수인 스킴 사상 $f\colon X\to Y$

그렇다면, 세르 아핀성 조건(Serre affine性條件, 영어: Serre’s criterion of affineness)에 따르면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $f$는 아핀 사상이다.
• 준연접층 범주 사이의 직상 함자 $f_{*}\colon \operatorname {QCoh} (X)\to \operatorname {QCoh} (Y)$는 완전 함자이다.

특히, $Y=\operatorname {Spec} \mathbb {Z}$일 경우를 생각하면, 임의의 스킴 $X$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 아핀 스킴이다.
• 위상 공간으로서 콤팩트 공간이며, 분리 스킴이며, $X$ 위의 모든 준연접층의 고차 층 코호몰로지 군은 자명군이다. 즉, 임의의 준연접층 ${\mathcal {F}}\in \operatorname {QCoh} (X)$에 대하여, $\forall i\in \mathbb {Z} ^{+}\colon \operatorname {H} ^{i}(X;{\mathcal {F}})=0$이다.

연산에 대한 닫힘

유한 개의 아핀 사상들의 합성은 아핀 사상이다.

아핀 사상의 성질은 밑 전환에 대하여 닫혀 있다. 즉, 임의의 세 스킴 $X$, $Y$, $Z$ 및 아핀 사상 $f\colon X\to Y$ 및 스킴 사상 $g\colon Z\to Y$에 대하여, $(f,g)$에 대한 올곱 $X_{Y}Z$를 정의하면, 올곱의 정의에 등장하는 표준적 사상 $\pi _{Z}\colon X\times _{Y}Z\to Z$ 역시 아핀 사상이다.

${\begin{matrix}X\times _{Y}Z&{\overset {\pi _{Z}}{\to }}&Z\\{\scriptstyle \pi _{X}}\downarrow \color {White}{\scriptstyle \pi _{X}}&&{\color {White}\scriptstyle g}\downarrow \scriptstyle g\\X&{\underset {f}{\to }}&Y\end{matrix}}$

함의 관계

모든 아핀 사상은 준콤팩트 함수이자 분리 사상이다. 모든 유한 사상은 아핀 사상이다.

		분리 사상
		∪
준콤팩트 함수	⊃	아핀 사상	⊃	유한 사상	⊃	닫힌 몰입

예

두 아핀 스킴 사이의 스킴 사상은 (자명하게) 항상 아핀 사상이다.

임의의 스킴 $X$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $X$는 아핀 스킴이다. 즉, $X\cong \operatorname {Spec} R$인 가환환 $R$가 존재한다.
• 유일한 스킴 사상 $X\to \operatorname {Spec} \mathbb {Z}$가 아핀 사상이다.

외부 링크

• “Affine morphism”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Affine morphism”. 《nLab》 (영어). 
• “Serre's criterion of affineness”. 《nLab》 (영어). 
• Mathew, Akhil (2012년 8월 1일). “Serre’s criterion for affineness as Morita theory”. 《Climbing Mount Bourbaki》 (영어). 
• “Affine morphisms in different settings coincide?” (영어). Math Overflow.