양자 논리

논리학과 양자역학에서 양자 논리(量子論理, 영어: quantum logic)는 양자역학의 상태 공간의 대수적인 이론을 논리학적으로 해석하는 이론이다. 양자 논리는 고전 논리(불 대수)와 여러 성질들을 공유하지만, 고전 논리의 분배법칙이 양자 논리에서는 일반적으로 성립하지 않는다.

전개

양자 논리에서는 양자역학에서의 상태 공간인 힐베르트 공간에 대한 대상들을 논리적인 대상으로 해석한다. 우리가 상태 공간이 ${\mathcal {H}}$인 양자역학으로 기술되는 우주에 살고 있다고 하고, 우리 우주의 현재 상태가 $|\psi \rangle \in {\mathcal {H}}$라고 하자. (복소 위상은 임의로 정할 수 있다.) $V\subset {\mathcal {H}}$가 ${\mathcal {H}}$의 닫힌 부분 벡터 공간이라고 할 때, 이에 대한 사영 연산자

$\pi _{V}(V)=V$

$\pi _{V}(V^{\perp })=\{0\}$

를 정의할 수 있다. 사영 연산자 $\pi _{V}$는 고윳값이 0 또는 1인 에르미트 연산자이며, 따라서 (초선택 규칙을 무시하면) 관측할 수 있다. 그렇다면, 닫힌 부분공간 $V$를 "$\pi _{V}$를 관측하였을 때, 1을 얻을 것이다."라는 꼴의 명제로 해석할 수 있다.

주요 대응되는 대상은 다음과 같다.

힐베르트 공간	논리학
닫힌 부분 벡터 공간 $V$	명제 $\phi$
힐베르트 공간 전체 ${\mathcal {H}}$	참 $\top$
0차원 부분공간 $\{0\}$	거짓 $\bot$
두 닫힌 부분공간의 합공간 $V\oplus V'$	두 명제의 논리합 $\phi \lor \phi '$
두 닫힌 부분공간의 교집합 $V\cap V'$	두 명제의 논리곱 $\phi \land \phi '$
닫힌 부분공간의 직교 여공간 $V^{\perp }$	명제의 부정 $\lnot \phi$
두 닫힌 부분집합의 일치 $V=V'$	명제의 동치 $\phi \iff \phi '$
두 닫힌 부분집합의 포함 관계 $V\subseteq V'$	명제의 함의 $\phi \implies \phi '$
두 닫힌 부분집합의 직교 관계 $V\perp V'$	두 명제의 독립성 (고전 논리학에 대응하지 않음)

이 연산들에 대하여, 주어진 힐베르트 공간 ${\mathcal {H}}$의 닫힌 부분공간들은 격자의 구조를 가지며, 정확히 말하면 직교모듈러격자(영어: orthomodular lattice)의 구조를 만족시킨다. 이 경우, 논리합($\lor$)·논리곱($\land$)·부정($\lnot$) 연산자들이 양자 논리에서 만족시키는 공리들은 다음과 같다.

• (논리곱의 결합법칙) $\phi \land (\phi \land \psi )\iff (\phi \land \phi )\land \psi$
• (논리합의 결합법칙) $\phi \lor (\phi \lor \psi )\iff (\phi \lor \phi )\lor \psi$
• (논리곱의 교환법칙) $\phi \land \chi \iff \chi \land \phi$
• (논리합의 교환법칙) $\phi \lor \chi \iff \chi \lor \phi$
• (이중 부정의 상쇄) $\lnot \lnot \phi \iff \phi$
• (배중률) $\top \iff \phi \lor \lnot \phi$
• (비모순율) $\bot \iff \phi \land \lnot \phi$
• (드 모르간의 법칙) $\lnot (\phi \land \chi )\iff \lnot \phi \lor \lnot \chi$, $\lnot (\phi \lor \chi )\iff \lnot \phi \land \lnot \chi$
• (논리곱의 흡수법칙) $\top \land \phi \iff \phi$, $\bot \land \phi \iff \bot$
• (논리합의 흡수법칙) $\top \lor \phi \iff \top$, $\bot \lor \phi \iff \phi$

또한, 다음과 같은 추론법이 성립한다. 여기서 $X\vdash Y$는 $X$로부터 $Y$를 유추한다는 뜻이다.

• (대우의 유추) $\phi \implies \chi \vdash \lnot \chi \implies \lnot \phi$
• (직교모듈러성) $\phi \implies \chi \vdash \phi \lor (\lnot \phi \land \chi )\iff \chi$

여기서 함의 관계 $\phi \implies \chi$는 동치 관계를 사용해 $\phi \lor \chi \iff \chi$ 또는 $\phi \iff \phi \land \chi$로 정의된다.

고전 논리와의 비교

고전 논리에서의 명제들은 불 대수를 이루며, 이는 직교모듈러 격자보다 더 강한 공리들을 만족시킨다. 고전 논리에서 성립하지만, 양자 논리에서 성립하지 않는 주된 공리는 분배법칙이다. 즉, 고전 논리에서는 다음 두 분배법칙이 성립한다.

• (논리곱의 논리합에 대한 분배법칙) $\phi \lor (\chi \land \psi )=(\phi \lor \chi )\land (\phi \lor \psi )$
• (논리합의 논리곱에 대한 분배법칙) $\phi \land (\chi \lor \psi )=(\phi \land \chi )\lor (\phi \land \psi )$

그러나 양자 논리에서는 두 분배법칙이 일반적으로 성립하지 않는다. 예를 들어,

$\phi =\operatorname {Span} \{|1\rangle \}$

$\chi =\operatorname {Span} \{|1\rangle +|2\rangle \}$

$\psi =\operatorname {Span} \{|1\rangle -|2\rangle \}$

일 때,

$\phi \land (\chi \lor \psi )=\phi \neq (\phi \land \chi )\lor (\phi \land \psi )=\bot$

$\phi \lor (\chi \land \psi )=\phi \neq (\phi \lor \chi )\land (\phi \lor \psi )=\top$

이다.

다만, 서로 독립되는 명제들(대응되는 부분집합들이 모두 서로 직교 관계에 있는 경우)의 경우에는 분배법칙을 비롯한 고전 논리 전부가 성립한다.

예

양자 논리를 사용하여, 스핀과 같은 양자역학적 현상들을 논리학적으로 서술할 수 있다. 스핀이 ½인 페르미온은 임의의 방향의 스핀 성분을 측정할 때, 항상 $+\hbar /2$ 또는 $-\hbar /2$를 얻는다. 이 입자의 힐베르트 공간은

${\mathcal {H}}=\mathbb {C} ^{2}=\operatorname {Span} \{|1\rangle ,|2\rangle \}$

이다. 이에 대하여, 다음과 같은 명제들을 정의하자. (이들은 파울리 행렬의 고유벡터들이다.)

• $\sigma _{x}$: 스핀의 x성분이 $+\hbar /2$이다. 이 명제는 $\operatorname {Span} \{|1\rangle +|2\rangle \}$에 대응한다.
• $\sigma _{y}$: 스핀의 y성분이 $+\hbar /2$이다. 이 명제는 $\operatorname {Span} \{|1\rangle +i|2\rangle \}$에 대응한다.
• $\sigma _{z}$: 스핀의 z성분이 $+\hbar /2$이다. 이 명제는 $\operatorname {Span} \{|1\rangle \}$에 대응한다.

이들로부터 다음을 유추할 수 있다. $\phi ,\chi \in \{\sigma _{x},\sigma _{y},\sigma _{z},\lnot \sigma _{x},\lnot \sigma _{y},\lnot \sigma _{z}\}$이며 $\phi \neq \chi$ 및 $\phi \neq \lnot \chi$라고 하자.

• $\vdash \top \iff \phi \lor \chi$. 즉, 이 6개 명제들 가운데, 서로 다른 방향에 대한 두 명제를 고르면, 그 둘의 논리합은 항상 참이다.
• $\vdash \bot \iff \phi \land \chi$. 즉, 이 6개 명제들 가운데, 서로 다른 방향에 대한 두 명제를 고르면, 그 둘의 논리곱은 항상 거짓이다.
• $\nvdash \phi \implies \chi$. 즉, 서로 다른 방향에 대한 두 명제는 서로를 함의하지 않는다.

물론, 이는 고전 논리에서는 불가능하다.

역사

개릿 버코프와 존 폰 노이만이 1936년에 도입하였다. 이후 힐러리 퍼트넘은 1969년 논문 〈논리학은 경험적인가?〉(영어: Is logic empirical?)에서 고전 논리를 대신 양자 논리로 대체하여야 한다고 주장하였다.

참고 문헌

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외부 링크

• Wilce, Alexander. “Quantum Logic and Probability Theory”. 《Stanford Encyclopedia of Philosophy》 (영어). 
• Ziegler, Martin. “Quantum logic: order structures in quantum mechanics” (영어). 2015년 7월 8일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2014년 10월 20일에 확인함.