연관 소 아이디얼

환론에서, 가군의 연관 소 아이디얼(聯關素ideal, 영어: associated prime ideal)은 특정 부분 가군의 소멸자로 표현될 수 있는 소 아이디얼이다. 가환환 위의 가군의 연관 소 아이디얼은 대수기하학적으로 준연접층으로서의 지지 집합과 관련되며, 또 부분 가군의 으뜸 분해에 사용된다.

정의

환 $R$의 왼쪽 가군 $_{R}M$이 다음 조건을 만족시킨다면, $M$을 소가군(영어: prime module)이라고 한다.

• 임의의 부분 가군 $_{R}N\subseteq {}_{R}M$에 대하여, $N=0$이거나 $\operatorname {Ann} (_{R}N)=\operatorname {Ann} (_{R}M)$이다.

(여기서 $\operatorname {Ann}$은 소멸자를 뜻한다.) 소가군의 소멸자는 항상 소 아이디얼이다.^:85

증명:

만약 양쪽 아이디얼 ${\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}}$가 ${\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}\subseteq \operatorname {Ann} _{R}M$을 만족시키며 ${\mathfrak {a}}\not \subseteq \operatorname {Ann} _{R}M$이라면, $\{0\}\neq {\mathfrak {a}}M$이므로 ${\mathfrak {b}}\subseteq \operatorname {Ann} _{R}({\mathfrak {a}}M)=\operatorname {Ann} _{R}M$이다.

$R$의 왼쪽 가군 $_{R}M$의 연관 소 아이디얼(영어: associated prime ideal)은 그 부분 가군인 소가군의 소멸자로 나타낼 수 있는 소 아이디얼이다.^:86 $_{R}M$의 연관 소 아이디얼의 집합을 $\operatorname {Ass} (_{R}M)\subseteq \operatorname {Spec} R$로 표기한다.

만약 $R$가 가환환일 때, $\operatorname {Ass} (_{R}M)$ 의 원소 가운데 (포함 관계에 대하여) 극소 원소인 것을 고립 연관 소 아이디얼(영어: isolated associated prime ideal), 아닌 것을 매장 연관 소 아이디얼(영어: embedded associated prime ideal)이라고 한다.

성질

환 $R$ 위의 왼쪽 가군 $_{R}M$의 부분 가군 $N\subseteq M$에 대하여, $\operatorname {Ass} (_{N})\subseteq \operatorname {Ass} (_{M})$이다. 만약 $N$이 본질적 부분 가군이라면 $\operatorname {Ass} (_{N})=\operatorname {Ass} (_{M})$이다.

유한성·비자명성

만약 $R$가 양쪽 아이디얼에 대한 오름 사슬 조건을 만족시킨다면, $R$ 위의 모든 유한 생성 왼쪽 가군은 적어도 하나 이상의 연관 소 아이디얼을 갖는다. 임의의 환 위의 뇌터 왼쪽 가군은 유한 개의 연관 소 아이디얼을 갖는다.

뇌터 가환환의 경우

가환환 $R$ 위의 가군 $M$은 $\operatorname {Spec} R$ 위의 준연접층을 정의한다. 그 지지 집합

$\operatorname {supp} (_{R}M)=\{{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} R\colon R_{\mathfrak {p}}\otimes _{R}\neq 0\}$

을 생각하자. 만약 $R$가 뇌터 가환환이라면, 다음이 성립한다.

• $\operatorname {Ass} (_{R}M)\subseteq \operatorname {supp} (_{R}M)$
• $\operatorname {Ass} (_{R}M)$의 극소 원소들의 집합은 $\operatorname {supp} (_{R}M)$의 극소 원소들의 집합과 같다.

뇌터 가환환 $R$ 위의 왼쪽 가군 $_{R}M$의 연관 소 아이디얼들의 합집합은 $M$의 영인자들의 집합과 같다.

$\bigcap \operatorname {Ass} (_{R}M)=\{r\in R\colon \exists m\in M\setminus \{0\}\colon rm=0\}$

뇌터 가환환 $R$ 위의 왼쪽 가군 $_{R}M$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.^{:391, Exercise 10.9.7}

• 가군의 길이가 유한하다.
• 유한 생성 가군이며, 모든 연관 소 아이디얼이 극대 아이디얼이다.

예

임의의 환 위의 영가군은 연관 소 아이디얼을 갖지 않는다.

$\operatorname {Ass} (_{R}0)=\varnothing$