확률론 에서 위너 공간 (Wiener空間, 영어 : Wiener space ) 또는 추상 위너 공간 (抽象Wiener空間, 영어 : abstract Wiener space )은 일종의 “정규 분포 ”에 해당하는 확률 측도 를 갖춘, 무한 차원일 수 있는 바나흐 공간 이다.[1] :§1.1 [2] 르베그 측도 의 일반화는 무한 차원에서 존재하지 않으며, 또한 힐베르트 공간 위의 가우스 분포 역시 무한 차원에서는 존재하지 않는다. (이러한 “측도”는 유한 가법 측도로 구성할 수 있으나, 가산 무한 가법성이 일반적으로 성립하지 않는다.) 그러나 힐베르트 공간을 내적과 다른 어떤 특별한 노름 으로 완비화하면, 이렇게 하여 얻는 바나흐 공간 위에 가우스 분포의 확률 측도 를 정의할 수 있으며, 위너 공간은 이러한 구성이 가능한 바나흐 공간 을 일컫는다.
위너 공간의 개념은 두 가지로 정의될 수 있다.
위너 공간은 그 측도의 푸리에 변환이 가우스 함수를 이룬다는 조건으로 추상적으로 정의할 수 있다.
위너 공간은 힐베르트 공간으로부터 구체적으로 정의할 수 있다. 이 두 정의는 서로 동치 이다.
푸리에 변환을 통한 정의
편집
다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
그렇다면,
H
⊆
E
{\displaystyle H\subseteq E}
E
∗
⊆
H
∗
=
H
{\displaystyle E^{*}\subseteq H^{*}=H}
이며,
E
∗
{\displaystyle E^{*}}
H
{\displaystyle H}
조밀 집합 을 이룬다. (여기서
(
−
)
∗
{\displaystyle (-)^{*}}
연속 쌍대 공간 을 뜻한다.)
만약
∫
E
exp
(
i
⟨
λ
|
x
⟩
)
d
μ
(
x
)
=
exp
(
−
⟨
λ
|
λ
⟩
H
2
)
∀
λ
∈
E
∗
⊆
H
{\displaystyle \int _{E}\exp(\mathrm {i} \langle \lambda |x\rangle )\,\mathrm {d} \mu (x)=\exp \left(-{\frac {\langle \lambda |\lambda \rangle _{H}}{2}}\right)\qquad \forall \lambda \in E^{*}\subseteq H}
라면,
(
E
,
μ
,
H
)
{\displaystyle (E,\mu ,H)}
위너 공간 이라고 한다.
구체적 정의
편집
위너 공간의 개념은 힐베르트 공간으로부터 보다 구체적으로 정의될 수 있다.
분해 가능 실수 힐베르트 공간
H
{\displaystyle H}
기둥 집합 의 족
Cyl
(
H
)
{\displaystyle \operatorname {Cyl} (H)}
ν
:
Cyl
(
H
)
→
[
0
,
1
]
{\displaystyle \nu \colon \operatorname {Cyl} (H)\to [0,1]}
ν
:
P
−
1
(
S
)
↦
(
2
π
)
n
/
2
∫
S
exp
(
−
x
2
/
2
)
d
n
x
(
P
:
H
→
R
n
,
S
∈
Borel
(
R
n
)
)
{\displaystyle \nu \colon P^{-1}(S)\mapsto (2\pi )^{n/2}\int _{S}\exp(-x^{2}/2)\,\mathrm {d} ^{n}x\qquad (P\colon H\to \mathbb {R} ^{n},\;S\in \operatorname {Borel} (\mathbb {R} ^{n}))}
특히,
ν
(
H
)
=
1
{\displaystyle \nu (H)=1}
ν
(
∅
)
=
0
{\displaystyle \nu (\varnothing )=0}
이다. 그러나 이는 가산 무한 가법성을 충족시키지 못해, 측도 를 이루지 못한다. 즉, 이는
σ
(
Cyl
(
H
)
)
=
Borel
(
H
)
{\displaystyle \sigma (\operatorname {Cyl} (H))=\operatorname {Borel} (H)}
측도 의 제한이 아니다. 이를
H
{\displaystyle H}
기둥 집합 측도 (영어 : cylinder-set measure )라고 한다.
H
{\displaystyle H}
노름
‖
−
‖
{\displaystyle \|-\|}
V
1
≤
V
2
≤
⋯
≤
H
{\displaystyle V_{1}\leq V_{2}\leq \dotsb \leq H}
이 존재한다면, 이를 가측 노름 (영어 : measurable norm )이라고 한다.
임의의 유한 차원 부분 공간
W
⊆
H
{\displaystyle W\subseteq H}
W
⊥
V
n
{\displaystyle W\perp V_{n}}
ν
(
{
x
∈
H
:
‖
proj
W
x
‖
>
2
−
n
}
)
<
2
−
n
{\displaystyle \nu (\{x\in H\colon \|\operatorname {proj} _{W}x\|>2^{-n}\})<2^{-n}}
H
{\displaystyle H}
‖
−
‖
{\displaystyle \|-\|}
바나흐 공간
H
⊆
E
{\displaystyle H\subseteq E}
가 주어졌다고 하자.
B
∗
⊆
H
∗
≅
H
{\displaystyle B^{*}\subseteq H^{*}\cong H}
{
H
∩
C
:
C
∈
Cyl
(
E
)
}
⊆
Cyl
(
H
)
{\displaystyle \{H\cap C\colon C\in \operatorname {Cyl} (E)\}\subseteq \operatorname {Cyl} (H)}
이다.
그렇다면,
E
{\displaystyle E}
기둥 집합 의 족
Cyl
(
E
)
{\displaystyle \operatorname {Cyl} (E)}
ν
:
Cyl
(
E
)
→
[
0
,
1
]
{\displaystyle \nu \colon \operatorname {Cyl} (E)\to [0,1]}
ν
:
ϕ
−
1
(
S
)
↦
ν
(
H
∩
ϕ
−
1
(
S
)
)
∀
ϕ
:
B
→
R
n
{\displaystyle \nu \colon \phi ^{-1}(S)\mapsto \nu (H\cap \phi ^{-1}(S))\qquad \forall \phi \colon B\to \mathbb {R} ^{n}}
이는
Cyl
(
E
)
{\displaystyle \operatorname {Cyl} (E)}
시그마 대수
σ
(
Cyl
(
E
)
)
=
Borel
(
E
)
{\displaystyle \sigma (\operatorname {Cyl} (E))=\operatorname {Borel} (E)}
위에 가산 가법으로 유일하게 확장될 수 있다. 즉, 이는 가측 공간
(
E
,
Borel
(
E
)
)
{\displaystyle (E,\operatorname {Borel} (E))}
확률 측도 를 이룬다. 그렇다면,
(
E
,
H
,
μ
)
{\displaystyle (E,H,\mu )}
위너 공간 이라고 한다.
위너 공간
(
E
,
μ
,
H
)
{\displaystyle (E,\mu ,H)}
ϕ
∈
E
∗
{\displaystyle \phi \in E^{*}}
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
측도
ϕ
∗
μ
{\displaystyle \phi _{*}\mu }
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
정규 분포 에 비례한다. 즉, 다음과 같은 꼴이다.
μ
(
ϕ
−
1
(
S
)
)
=
∫
S
C
exp
(
−
x
2
/
2
σ
2
)
,
d
x
(
C
≥
0
,
σ
2
>
0
)
{\displaystyle \mu (\phi ^{-1}(S))=\int _{S}C\exp(-x^{2}/2\sigma ^{2}),\mathrm {d} x\,\qquad (C\geq 0,\;\sigma ^{2}>0)}
또한, 만약
ϕ
≠
0
{\displaystyle \phi \neq 0}
C
>
0
{\displaystyle C>0}
임의의 분해 가능 바나흐 공간
E
{\displaystyle E}
(
μ
,
H
)
{\displaystyle (\mu ,H)}
:Theorem 4.47
페일리-위너 적분
편집
위너 공간
(
E
,
μ
,
H
)
{\displaystyle (E,\mu ,H)}
E
∗
⊆
H
⊆
E
{\displaystyle E^{*}\subseteq H\subseteq E}
가 성립한다. 또한,
E
∗
⊆
L
2
(
E
,
μ
;
R
)
{\displaystyle E^{*}\subseteq \operatorname {L} ^{2}(E,\mu ;\mathbb {R} )}
임을 보일 수 있으며, 다음이 성립한다.
‖
ϕ
‖
L
2
(
E
,
μ
;
R
)
=
⟨
ϕ
|
ϕ
⟩
H
{\displaystyle \|\phi \|_{\operatorname {L} ^{2}(E,\mu ;\mathbb {R} )}={\sqrt {\langle \phi |\phi \rangle _{H}}}}
다시 말해, 등거리 변환 인 선형 변환
E
∗
→
L
2
(
E
,
μ
;
R
)
{\displaystyle E^{*}\to \operatorname {L} ^{2}(E,\mu ;\mathbb {R} )}
이 존재한다.
E
∗
{\displaystyle E^{*}}
H
{\displaystyle H}
조밀 집합 이므로, 이를
H
{\displaystyle H}
등거리 변환 인 단사 선형 변환
I
:
H
→
L
2
(
E
,
μ
;
R
)
{\displaystyle I\colon H\to \operatorname {L} ^{2}(E,\mu ;\mathbb {R} )}
이 존재한다. 이를 페일리-위너 사상 (영어 : Paley–Wiener map )이라고 한다. 이에 따라서, 임의의
h
∈
H
{\displaystyle h\in H}
x
∈
E
{\displaystyle x\in E}
I
h
(
x
)
∈
R
{\displaystyle I_{h}(x)\in \mathbb {R} }
를 정의할 수 있다. 이를 페일리-위너 적분 (영어 : Paley–Wiener integral )이라고 한다.
캐머런-마틴 정리
편집
위너 공간
(
E
,
μ
,
H
)
{\displaystyle (E,\mu ,H)}
h
∈
H
{\displaystyle h\in H}
(
+
h
)
:
E
→
E
{\displaystyle (+h)\colon E\to E}
(
+
h
)
:
x
↦
x
+
h
{\displaystyle (+h)\colon x\mapsto x+h}
그렇다면,
E
{\displaystyle E}
확률 측도
μ
h
=
(
+
h
)
∗
μ
:
Borel
(
E
)
→
[
0
,
1
]
{\displaystyle \mu _{h}=(+h)_{*}\mu \colon \operatorname {Borel} (E)\to [0,1]}
를 정의할 수 있다. 이 경우, 라돈-니코딤 도함수
d
μ
h
d
μ
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mu _{h}}{\mathrm {d} \mu }}}
는 다음과 같다.
d
μ
h
d
μ
=
exp
(
I
h
(
x
)
)
−
1
2
⟨
h
|
h
⟩
)
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mu _{h}}{\mathrm {d} \mu }}=\exp \left(I_{h}(x))-{\frac {1}{2}}\langle h|h\rangle \right)}
여기서
I
h
(
x
)
{\displaystyle I_{h}(x)}
캐머런-마틴 정리 (영어 : Cameron–Martin theorem )라고 한다.
두 위너 공간
(
E
,
μ
,
H
)
{\displaystyle (E,\mu ,H)}
(
E
′
,
μ
′
,
H
′
)
{\displaystyle (E',\mu ',H')}
(
E
⊕
E
′
,
H
⊕
H
′
)
{\displaystyle (E\oplus E',H\oplus H')}
μ
(
S
×
S
′
)
=
μ
E
(
S
)
μ
E
′
(
S
′
)
∀
S
∈
Borel
(
E
)
,
S
′
∈
Borel
(
E
′
)
{\displaystyle \mu (S\times S')=\mu _{E}(S)\mu _{E'}(S')\qquad \forall S\in \operatorname {Borel} (E),\;S'\in \operatorname {Borel} (E')}
만약
H
{\displaystyle H}
유클리드 공간 (즉, 유한 차원 힐베르트 공간)이며,
H
=
E
{\displaystyle H=E}
H
{\displaystyle H}
H
{\displaystyle H}
정규 분포 와 같다.
고전 위너 공간
편집
다음과 같은 바나흐 공간 을 생각하자.
C
0
0
(
[
0
,
T
]
,
R
n
)
=
{
f
∈
C
0
(
[
0
,
T
]
,
R
n
)
:
f
(
0
)
=
0
}
{\displaystyle {\mathcal {C}}_{0}^{0}([0,T],\mathbb {R} ^{n})=\{f\in {\mathcal {C}}^{0}([0,T],\mathbb {R} ^{n})\colon f(0)=0\}}
‖
f
‖
C
0
0
(
[
0
,
T
]
,
R
n
)
=
max
[
0
,
T
]
‖
f
‖
R
n
{\displaystyle \|f\|_{{\mathcal {C}}_{0}^{0}([0,T],\mathbb {R} ^{n})}=\max _{[0,T]}\|f\|_{\mathbb {R} ^{n}}}
그렇다면, 그 속에 다음과 같은 부분 공간을 정의할 수 있다.
W
0
1
,
2
(
[
0
,
T
]
,
R
n
)
=
W
1
,
2
(
[
0
,
T
]
,
R
n
)
∩
C
0
0
(
[
0
,
T
]
,
R
n
)
=
{
f
∈
C
0
0
(
[
0
,
T
]
,
R
n
)
,
d
f
/
d
t
∈
L
2
(
[
0
,
T
]
,
R
n
)
}
{\displaystyle \operatorname {W} _{0}^{1,2}\left([0,T],\mathbb {R} ^{n}\right)=\operatorname {W} ^{1,2}([0,T],\mathbb {R} ^{n})\cap {\mathcal {C}}_{0}^{0}([0,T],\mathbb {R} ^{n})=\{f\in {\mathcal {C}}_{0}^{0}([0,T],\mathbb {R} ^{n}),\;\mathrm {d} f/\mathrm {d} t\in \operatorname {L} ^{2}([0,T],\mathbb {R} ^{n})\}}
여기서
W
1
,
2
(
−
)
{\displaystyle \operatorname {W} ^{1,2}(-)}
소볼레프 공간 이다. 즉, 이 부분 공간의 원소는 거의 어디서나 1차 도함수를 가지며, 그 1차 도함수는 르베그 공간
W
0
1
,
2
(
[
0
,
T
]
,
R
2
)
{\displaystyle \operatorname {W} _{0}^{1,2}([0,T],\mathbb {R} ^{2})}
2 노름의 제곱은 에너지 라고 하며, 따라서
L
0
2
,
1
{\displaystyle \operatorname {L} _{0}^{2,1}}
유한 에너지 경로 (영어 : finite-energy path )라고 한다.)
이는 조밀 집합 이며, 그 위에 다음과 같은 힐베르트 공간 구조를 줄 수 있다.
⟨
f
,
g
⟩
L
0
2
,
1
(
[
0
,
1
]
,
R
n
)
=
∫
0
T
⟨
f
˙
(
t
)
,
g
˙
(
t
)
⟩
R
n
d
t
{\displaystyle \langle f,g\rangle _{\operatorname {L} _{0}^{2,1}\left([0,1],\mathbb {R} ^{n}\right)}=\int _{0}^{T}\langle {\dot {f}}(t),{\dot {g}}(t)\rangle _{\mathbb {R} ^{n}}\,\mathrm {d} t}
이제, 임의의 확률 공간
Ω
{\displaystyle \Omega }
위너 과정
(
W
t
:
Ω
→
R
n
)
t
∈
[
0
,
T
]
{\displaystyle (W_{t}\colon \Omega \to \mathbb {R} ^{n})_{t\in [0,T]}}
을 생각하자.
W
{\displaystyle W}
거의 확실하게 연속 함수 이므로, 그 궤적들의 확률 분포는
C
0
(
[
0
,
T
]
,
R
n
)
{\displaystyle {\mathcal {C}}_{0}([0,T],\mathbb {R} ^{n})}
측도 를 정의한다. 즉, 임의의 보렐 집합
S
⊆
C
0
0
(
[
0
,
T
]
,
R
n
)
{\displaystyle S\subseteq {\mathcal {C}}_{0}^{0}([0,T],\mathbb {R} ^{n})}
μ
(
S
)
=
Pr
(
W
∈
S
)
{\displaystyle \mu (S)=\Pr(W\in S)}
로 놓는다.
그렇다면,
(
C
0
0
(
[
0
,
T
]
,
R
n
)
,
μ
,
L
0
2
,
1
(
[
0
,
1
]
,
R
n
)
)
{\displaystyle ({\mathcal {C}}_{0}^{0}([0,T],\mathbb {R} ^{n}),\mu ,\operatorname {L} _{0}^{2,1}\left([0,1],\mathbb {R} ^{n}\right))}
고전 위너 공간 (古典Wiener空間, 영어 : classical Wiener space )이라고 한다.
브라운 다리
편집
원을
S
1
=
[
0
,
1
]
/
(
0
∼
1
)
{\displaystyle \mathbb {S} ^{1}=[0,1]/(0\sim 1)}
로 정의하자.
L∞ 노름을 가진, 초가 값이 주어진 주기 함수들의 바나흐 공간
E
=
C
0
0
(
S
1
,
R
n
)
=
{
f
∈
C
0
(
S
1
,
R
n
)
:
f
(
0
)
=
f
(
1
)
=
0
}
{\displaystyle E={\mathcal {C}}_{0}^{0}(\mathbb {S} ^{1},\mathbb {R} ^{n})=\{f\in {\mathcal {C}}^{0}(\mathbb {S} ^{1},\mathbb {R} ^{n})\colon f(0)=f(1)=0\}}
을 생각하자. 이 위에, 부분 공간
H
=
W
0
1
,
2
(
S
1
,
R
n
)
=
W
1
,
2
(
S
1
,
R
n
)
∩
E
{\displaystyle H=\operatorname {W} _{0}^{1,2}(\mathbb {S} ^{1},\mathbb {R} ^{n})=\operatorname {W} ^{1,2}(\mathbb {S} ^{1},\mathbb {R} ^{n})\cap E}
을 생각하자. 이는 내적
⟨
f
,
g
⟩
=
∮
f
˙
g
˙
{\displaystyle \langle f,g\rangle =\oint {\dot {f}}{\dot {g}}}
에 의하여 힐베르트 공간을 이룬다.
E
{\displaystyle E}
확률 과정
X
t
=
W
t
−
t
W
1
{\displaystyle X_{t}=W_{t}-tW_{1}}
의 법칙으로 주어지는 확률 측도 를 부여하자. 여기서
W
t
{\displaystyle W_{t}}
위너 과정 이다. 그렇다면,
(
E
,
H
)
{\displaystyle (E,H)}
:§4.4
힐베르트 공간 위의 위너 공간 구조
편집
분해 가능 힐베르트 공간
H
{\displaystyle H}
양의 정부호 힐베르트-슈미트 작용소
A
:
H
→
H
{\displaystyle A\colon H\to H}
‖
x
‖
A
=
⟨
A
x
|
A
x
⟩
H
{\displaystyle \|x\|_{A}=\langle Ax|Ax\rangle _{H}}
을 정의할 수 있다. 이는 가측 노름임을 보일 수 있으며, 이렇게 하여 정의된 위너 공간
(
E
,
μ
,
H
)
{\displaystyle (E,\mu ,H)}
E
{\displaystyle E}
힐베르트 공간 을 이룬다.:Corollary 4.62
(
E
,
μ
,
H
)
{\displaystyle (E,\mu ,H)}
E
{\displaystyle E}
:Corollary 4.62
고전 위너 공간은 노버트 위너 가 최초로 구성하였다. 이후 레너드 그로스(영어 : Leonard Gross )가 (추상적) 위너 공간의 개념을 도입하였다.[3]
페일리-위너 적분은 레이먼드 에드워드 앨런 크리스토퍼 페일리(영어 : Raymond Edward Alan Christopher Paley , 1907〜1933)와 노버트 위너 의 이름을 땄다.
캐머런-마틴 정리는 로버트 호턴 캐머런(영어 : Robert Horton Cameron , 1908〜1989)과 윌리엄 테드 마틴(영어 : William Ted Martin , 1911〜2004)이 증명하였다.
참고 문헌
편집
↑ Bell, Denis R. (1987). 《The Malliavin calculus》. Pitman Monographs and Surveys in Pure and Applied Mathematics (영어) 34 . John Wiley. ISBN 0-582-99486-1 MR 2250060 . ↑ Eldredge, Nathan (2016). “Analysis and probability on infinite-dimensional spaces”. arXiv :1607.03591 . ↑ Gross, Leonard (1967). 〈Abstract Wiener spaces〉 (PDF) . Le Cam, Lucien M.; Neyman, Jerzy. 《Proceedings of the Fifth Berkeley Symposium on Mathematical Statistics and Probability. Volume Ⅱ. Part Ⅰ. Contributions to probability theory》 (영어). University of California Press. 31–42쪽. MR 212152 . [깨진 링크 (과거 내용 찾기 )]
외부 링크
편집
![{\displaystyle \nu \colon \operatorname {Cyl} (H)\to [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f31eb3e074b880994b55d646b433607bd39d6032)
![{\displaystyle \nu \colon \operatorname {Cyl} (E)\to [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f267e0298461e3289a3a57015b1ad57e296c5670)
![{\displaystyle \mu _{h}=(+h)_{*}\mu \colon \operatorname {Borel} (E)\to [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73c9d7ebeae14b5815f4b1169ec32458e0dee869)
![{\displaystyle {\mathcal {C}}_{0}^{0}([0,T],\mathbb {R} ^{n})=\{f\in {\mathcal {C}}^{0}([0,T],\mathbb {R} ^{n})\colon f(0)=0\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2a9cb597a0c59bebd2d76e075d636138e9ce0e6)
![{\displaystyle \|f\|_{{\mathcal {C}}_{0}^{0}([0,T],\mathbb {R} ^{n})}=\max _{[0,T]}\|f\|_{\mathbb {R} ^{n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/373a4a08a826ac76263bc3e8baf76827131e6ccb)
![{\displaystyle \operatorname {W} _{0}^{1,2}\left([0,T],\mathbb {R} ^{n}\right)=\operatorname {W} ^{1,2}([0,T],\mathbb {R} ^{n})\cap {\mathcal {C}}_{0}^{0}([0,T],\mathbb {R} ^{n})=\{f\in {\mathcal {C}}_{0}^{0}([0,T],\mathbb {R} ^{n}),\;\mathrm {d} f/\mathrm {d} t\in \operatorname {L} ^{2}([0,T],\mathbb {R} ^{n})\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa2ec7a4d2496d172100e7da5c5ab63dbc933254)
![{\displaystyle \operatorname {W} _{0}^{1,2}([0,T],\mathbb {R} ^{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d500747ed7bfb5bcbd0b1df633cd08696545b05c)
![{\displaystyle \langle f,g\rangle _{\operatorname {L} _{0}^{2,1}\left([0,1],\mathbb {R} ^{n}\right)}=\int _{0}^{T}\langle {\dot {f}}(t),{\dot {g}}(t)\rangle _{\mathbb {R} ^{n}}\,\mathrm {d} t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df878c80182fb4170a8b8af856563b7b8b0d820a)
![{\displaystyle (W_{t}\colon \Omega \to \mathbb {R} ^{n})_{t\in [0,T]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3b3e2b7430b79d6e840e522cdc003c996e9db73)
![{\displaystyle {\mathcal {C}}_{0}([0,T],\mathbb {R} ^{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72e85eedd88426f254c0d752d05145302d4949e7)
![{\displaystyle S\subseteq {\mathcal {C}}_{0}^{0}([0,T],\mathbb {R} ^{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6d70789f2695c8cca26cf8ed5240c59a9fcfcc0)
![{\displaystyle ({\mathcal {C}}_{0}^{0}([0,T],\mathbb {R} ^{n}),\mu ,\operatorname {L} _{0}^{2,1}\left([0,1],\mathbb {R} ^{n}\right))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ebd278e81b0ad5888d94dccaec562bdcb79d2d9)
![{\displaystyle \mathbb {S} ^{1}=[0,1]/(0\sim 1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ff71a9e46f09e962d9cdaf89cda64a32a7027d5)
