정역 스킴의 경우
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정역 스킴
(
X
,
O
X
)
{\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}
유리 함수층
K
X
{\displaystyle {\mathcal {K}}_{X}}
체 값을 갖는 층 이다. 임의의 공집합 이 아닌 열린집합
U
⊆
X
{\displaystyle U\subseteq X}
Γ
(
U
;
K
X
)
=
Frac
(
Γ
(
U
;
O
X
)
)
{\displaystyle \Gamma (U;{\mathcal {K}}_{X})=\operatorname {Frac} (\Gamma (U;{\mathcal {O}}_{X}))}
즉, 각 열린집합 에 대응하는 정칙 함수들의 정역 에 분수체 를 취한 것이다. 물론, 공집합의 경우 층의 값은 항상 자명환 이다.
Γ
(
∅
;
K
X
)
=
0
{\displaystyle \Gamma (\varnothing ;{\mathcal {K}}_{X})=0}
일반적 스킴의 경우
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임의의 국소환 달린 공간
(
X
,
O
X
)
{\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}
유리 함수층
K
X
{\displaystyle {\mathcal {K}}_{X}}
[1] [2] :140–141, §II.6
각 열린집합
U
⊆
X
{\displaystyle U\subseteq X}
x
∈
U
{\displaystyle x\in U}
줄기
O
X
,
x
{\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,x}}
res
U
,
x
:
Γ
(
U
,
O
X
)
→
O
X
,
x
{\displaystyle \operatorname {res} _{U,x}\colon \Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})\to {\mathcal {O}}_{X,x}}
이 존재한다. 그렇다면, 다음과 같은 집합을 정의하자.
S
U
=
{
f
∈
Γ
(
U
;
O
X
)
:
res
U
,
x
(
f
)
∈
Reg
(
O
X
,
x
)
}
=
⋂
x
∈
U
res
U
,
x
−
1
(
Reg
(
O
X
,
x
)
)
⊂
Γ
(
U
;
O
X
)
{\displaystyle S_{U}=\left\{f\in \Gamma (U;{\mathcal {O}}_{X})\colon \operatorname {res} _{U,x}(f)\in \operatorname {Reg} ({\mathcal {O}}_{X,x})\right\}=\bigcap _{x\in U}\operatorname {res} _{U,x}^{-1}\left(\operatorname {Reg} ({\mathcal {O}}_{X,x})\right)\subset \Gamma (U;{\mathcal {O}}_{X})}
여기서
Reg
(
−
)
{\displaystyle \operatorname {Reg} (-)}
가환환 에서 영인자 가 아닌 원소들의 곱셈 모노이드 이다. 이는 곱셈 모노이드 들의 교집합 이므로 역시 곱셈 모노이드 를 이룬다.
그렇다면
X
{\displaystyle X}
준층
K
~
X
{\displaystyle {\tilde {\mathcal {K}}}_{X}}
국소화 로 정의하자.
Γ
(
U
;
K
~
X
)
=
S
U
−
1
Γ
(
U
;
O
X
)
{\displaystyle \Gamma (U;{\tilde {\mathcal {K}}}_{X})=S_{U}^{-1}\Gamma (U;{\mathcal {O}}_{X})}
여기서
S
U
−
1
{\displaystyle S_{U}^{-1}}
국소화 이다. 이 경우, 제약 사상은 국소화 로 유도되는 자연스러운 사상들이다.
X
{\displaystyle X}
유리 함수층
K
X
{\displaystyle {\mathcal {K}}_{X}}
준층
K
~
X
{\displaystyle {\tilde {\mathcal {K}}}_{X}}
층화 이며, 이는
O
X
{\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}
가군층 을 이룬다.
임의의 스킴 위의 유리 함수층의 경우, 단면들이 체 를 이루지 않을 수 있다.
X
{\displaystyle X}
국소 뇌터 스킴 이거나, 또는 축소 스킴 이며 그 기약 성분 의 집합이 국소적으로 유한하다고 하자 (즉, 임의의 점
x
{\displaystyle x}
열린 근방
U
∋
x
{\displaystyle U\ni x}
줄기 는 구조층의 줄기의 전분수환 과 같다.[1] :205 [3] :Lemma 7.1.12b
K
X
,
x
=
Frac
(
O
X
,
x
)
{\displaystyle {\mathcal {K}}_{X,x}=\operatorname {Frac} ({\mathcal {O}}_{X,x})}
아핀 스킴의 유리 함수층
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가환환
R
{\displaystyle R}
전분수환
Frac
(
R
)
{\displaystyle \operatorname {Frac} (R)}
스펙트럼 위의 유리 함수환으로 가는 표준적인 환 준동형
Frac
(
R
)
→
Γ
(
Spec
R
;
K
Spec
R
)
{\displaystyle \operatorname {Frac} (R)\to \Gamma (\operatorname {Spec} R;{\mathcal {K}}_{\operatorname {Spec} R})}
이 존재하며, 이는 항상 단사 함수 이다.[3] :Remark 7.1.14
만약
R
{\displaystyle R}
뇌터 환 이거나, 또는 유한 개의 극소 소 아이디얼 들을 갖는 축소환 이라면, 이는 환의 동형 사상 을 이룬다.[3] :Lemma 7.1.12b 동형 사상 이 아니다.
코호몰로지
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국소환 달린 공간
(
X
,
O
X
)
{\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}
아벨 군 층 의 짧은 완전열 이 존재한다.
1
→
O
X
×
→
K
X
×
→
K
X
×
/
O
X
×
→
1
{\displaystyle 1\to {\mathcal {O}}_{X}^{\times }\to {\mathcal {K}}_{X}^{\times }\to {\mathcal {K}}_{X}^{\times }/{\mathcal {O}}_{X}^{\times }\to 1}
여기서
(
−
)
×
{\displaystyle (-)^{\times }}
가역원층 을 뜻한다. 이에 따라서 다음과 같은 층 코호몰로지 긴 완전열 이 존재한다.
1
→
Γ
(
X
;
O
X
×
)
→
Γ
(
X
;
K
X
×
)
→
Γ
(
X
;
K
X
×
/
O
X
×
)
→
H
1
(
X
;
O
X
×
)
→
H
1
(
X
;
K
X
×
)
→
H
1
(
X
;
K
X
×
/
O
X
×
)
→
H
2
(
X
;
O
X
×
)
→
⋯
{\displaystyle 1\to \Gamma (X;{\mathcal {O}}_{X}^{\times })\to \Gamma (X;{\mathcal {K}}_{X}^{\times })\to \Gamma (X;{\mathcal {K}}_{X}^{\times }/{\mathcal {O}}_{X}^{\times })\to \operatorname {H} ^{1}(X;{\mathcal {O}}_{X}^{\times })\to \operatorname {H} ^{1}(X;{\mathcal {K}}_{X}^{\times })\to \operatorname {H} ^{1}(X;{\mathcal {K}}_{X}^{\times }/{\mathcal {O}}_{X}^{\times })\to \operatorname {H} ^{2}(X;{\mathcal {O}}_{X}^{\times })\to \cdots }
여기서 각 코호몰로지 군들은 다음과 같은 특별한 이름을 갖는다.
Γ
(
X
;
O
X
×
)
{\displaystyle \Gamma (X;{\mathcal {O}}_{X}^{\times })}
Γ
(
X
;
K
X
×
)
{\displaystyle \Gamma (X;{\mathcal {K}}_{X}^{\times })}
Γ
(
X
;
K
X
×
/
O
X
×
)
{\displaystyle \Gamma (X;{\mathcal {K}}_{X}^{\times }/{\mathcal {O}}_{X}^{\times })}
카르티에 인자 군
Γ
(
X
;
K
X
×
/
O
X
×
)
/
Γ
(
X
;
K
X
×
)
{\displaystyle \Gamma (X;{\mathcal {K}}_{X}^{\times }/{\mathcal {O}}_{X}^{\times })/\Gamma (X;{\mathcal {K}}_{X}^{\times })}
카르티에 인자 유군
H
1
(
X
;
O
X
×
)
{\displaystyle \operatorname {H} ^{1}(X;{\mathcal {O}}_{X}^{\times })}
피카르 군
체
K
{\displaystyle K}
아핀 공간
A
K
0
Spec
K
=
{
(
0
)
}
{\displaystyle \mathbb {A} _{K}^{0}\operatorname {Spec} K=\{(0)\}}
한원소 공간 이며, 이 경우
Γ
(
Spec
K
,
K
Spec
K
)
=
K
{\displaystyle \Gamma (\operatorname {Spec} K,{\mathcal {K}}_{\operatorname {Spec} K})=K}
Γ
(
∅
,
K
Spec
K
)
=
0
{\displaystyle \Gamma (\varnothing ,{\mathcal {K}}_{\operatorname {Spec} K})=0}
이다.
체
K
{\displaystyle K}
A
K
1
=
Spec
K
[
x
]
{\displaystyle \mathbb {A} _{K}^{1}=\operatorname {Spec} K[x]}
Γ
(
A
K
1
,
K
A
K
1
)
=
K
(
x
)
{\displaystyle \Gamma (\mathbb {A} _{K}^{1},{\mathcal {K}}_{\mathbb {A} _{K}^{1}})=K(x)}
이다. 즉,
K
{\displaystyle K}
유리 함수 들의 체이다.
알렉산더 그로텐디크 가 1967년에 도입하였으나,[4] :226–227, Propositions 20.1.1–3 영어 : Steven Kleiman )이 1979년에 지적하고 교정하였다.[1]
참고 문헌
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외부 링크
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![{\displaystyle \mathbb {A} _{K}^{1}=\operatorname {Spec} K[x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64d5e982d4a815268c27f18993b1a42f95cb764f)
