유한환

환론에서 유한환(有限環, 영어: finite ring)은 유한 집합인 환이다.

정의

환 · 유사환 · 가환환 · 가환 유사환 가운데, 유한 집합인 것을 각각 유한환 · 유한 유사환 · 유한 가환환 · 유한 가환 유사환이라고 한다. 이 문서에서, 환 · 가환환은 항상 곱셈 항등원을 가지며, (가환) 유사환은 곱셈 항등원을 가지지 않을 수 있다.

성질

모든 유한환은 자명하게 좌·우 뇌터 환이자 아르틴 환이다. 가환 유한환의 크룰 차원은 0차원이며, 그 스펙트럼은 유한 개의 점으로 구성된 이산 공간이다.

모든 유한환 $R$에서, 모든 원소 $r\in R$는 영인자이거나 아니면 가역원이다. 구체적으로, 만약 $r\cdot \colon R\to R$가 전단사 함수라면 이는 가역원이며, 아니라면 영인자이다. 이에 따라, 모든 유한환은 0이 아닌 영인자를 갖거나 아니면 유한체이다 (웨더번 정리).

모든 유한 단순환은 유한체 위의 행렬환과 동형이다. 즉, 다음과 같은 꼴이다.

$\operatorname {Mat} (n;\mathbb {F} _{p^{k}})$

분류

유한 유사환 $(R,+,0,\cdot )$의 크기의 소인수 분해가 다음과 같다고 하자.

$|R|=\prod _{i}p_{i}^{n_{i}}$

그렇다면 $R$는 다음과 같은 유사환 직합으로 나타낼 수 있다.

$R=\bigoplus _{i}R_{i}$

$|R_{i}|=p_{i}^{n_{i}}$

즉, 유한 유사환을 분류하려면, 크기가 소수의 거듭제곱인 것만을 분류하면 족하다.

크기가 $p^{n}$인 유한 유사환 $(R,+,0,\cdot )$을 생각하자. 이는 아벨 군 $(R,+,0)$에 따라 일차적으로 분류된다. (유한 아벨 군은 모두 완전히 분류되었다.) 또한, 이 아벨 군이 순환군인 경우, 해당하는 모든 유사환을 분류할 수 있다. 따라서, 순환군이 아닌 소수 거듭제곱 크기의 아벨 군 위의 유한 유사환만을 분류하면 된다.

추가로, 만약 $R$가 가환환인 경우, $R$는 (크기가 소수의 거듭제곱인) 유한 국소환의 직합으로 나타낼 수 있다.

순환군 위의 유사환

덧셈 아벨 군이 순환군 $\operatorname {Cyc} (n)$인 유사환 $R$는 다음과 같이 간단히 분류된다.^{:Theorem 1} 덧셈 아벨 군의 생성원을 $a$라고 하자. 즉,

$\{0,a,2a,3a,\dots ,(n-1)a\}$

의 꼴이다. 이러한 유사환의 곱셈 구조는

$a^{2}=ka$

인 $k\in \mathbb {Z} /n$에 의하여 완전히 결정된다. 이러한 유사환은

$\langle a|na,a^{2}-ka\rangle$

와 같이 적을 수 있다. 또한, 이러한 두 유사환이 서로 동형일 필요충분조건은

$\langle a|na,a^{2}-ka\rangle \cong \langle a|na,a^{2}-k'a\rangle \iff \gcd\{k,n\}=\gcd\{k',n\}$

이다. 따라서, 순환군 $\operatorname {Cyc} (n)$ 위의 유사환들은 $n$의 약수들과 일대일 대응한다. 이 가운데, 약수 $k\equiv n\equiv 0{\pmod {n}}$인 경우는 영유사환이며, $k\equiv 1{\pmod {n}}$인 경우는 정수환의 몫환 $\mathbb {Z} /(n)$이다. $k\not \equiv 1{\pmod {n}}$인 경우는 곱셈 항등원이 없어 환을 이루지 않는다.

Cyc(p)^⊕2 위의 유사환

$\mathbb {Z} /p\oplus \mathbb {Z} /p$ 위의 유사환은 총 8개이며, 다음과 같다.^{:Theorem 2}

• 가환환 3개:
  • 유한체 $\mathbb {F} _{p^{2}}$
  • $\mathbb {F} _{p}\oplus \mathbb {F} _{p}$
  • $\mathbb {F} _{p}[x]/(x^{2})$ (^{:Theorem 2}에서는 G로 수록)
• 가환환이 아닌 가환 유사환 3개:
  • $\operatorname {Cyc} (p)\oplus \operatorname {Cyc} (p)$ 위의 영유사환
  • $\mathbb {F} _{p}\oplus \operatorname {Cyc} (p)$. 여기서 $\operatorname {Cyc} (p)$는 동명의 순환군 위의 영유사환이다.
  • $(x)\subset \mathbb {F} _{p}[x]/(x^{3})$ (^{:Theorem 2}에서는 I로 수록)
• 비가환 유사환 2개
  • $\left\{{\begin{pmatrix}a&0\\b&0\end{pmatrix}}\colon a,b\in \mathbb {F} _{p}\right\}\subset \operatorname {Mat} (2;\mathbb {F} _{p})$ (에서는 E로 수록)
  • 위 행렬 유사환의 반대유사환 (^{:Theorem 2}에서는 F로 수록)

Cyc(p²) ⊕ Cyc(p) 위의 유사환

아벨 군 $\operatorname {Cyc} (p^{2})\oplus \operatorname {Cyc} (p)$ 위의 유사환은 $p=2$일 경우 총 20개, $p\neq 2$일 경우 총 $2p+19$개가 있다. 이는 다음과 같다.

• 가환환 3개 ($p=2$일 경우 4개)
  • $\mathbb {Z} /(p^{2})\oplus \mathbb {F} _{p}$
  • $(\mathbb {Z} /(p^{2}))[x]/(px,x^{2})$
  • $(\mathbb {Z} /(p^{2}))[x]/(px,x^{2}-p)$
  • $(\mathbb {Z} /(p^{2}))[x]/(px,x^{2}-mp)$, $m\in \mathbb {Z} /(p)$은 제곱잉여가 아닌 정수. ($p=2$일 경우 이는 불가능하다.)
• 나머지는 모두 단위원을 갖지 않는 유사환이다.

Cyc(p)^⊕3 위의 유사환

아벨 군 $\operatorname {Cyc} (p)^{\oplus 3}$ 위의 유사환은 28개 ($p=2$인 경우) 또는 $p+27$개 ($p\neq 2$인 경우)이다.

이 가운데, (곱셈 단위원을 갖춘) 환은 7개이다.^{:Theorem 14} 이 가운데 가환환이 아닌 것은 하나밖에 없으며, 유한체 위의 삼각행렬의 환

$\operatorname {Upper} (2;\mathbb {F} _{p})=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\0&c\end{pmatrix}}\colon a,b,c\in \mathbb {F} _{p}\right\}$

이다 (이 환은 스스로의 반대환과 동형이다).

아벨 군 $\operatorname {Cyc} (p)^{\oplus 3}$ 위의 6개의 가환환은 다음과 같다.

• $\mathbb {F} _{p}^{\oplus 3}$
• $\mathbb {F} _{p^{2}}\oplus \mathbb {Z} /(p)$
• $\mathbb {F} _{p}[x]/(x^{2})\oplus \mathbb {Z} /(p)$
• 유한체 $\mathbb {F} _{p^{3}}$
• $\mathbb {F} _{p}[x]/(x^{3})$
• $\mathbb {F} _{p}[x,y]/(x^{2},xy,y^{2})$

주어진 크기의 유사환의 수

크기가 $n$인 유한 유사환의 동형류의 수는 다음과 같다 ($n=1,2,\dots$).

1, 2, 2, 11, 2, 4, 2, 52, 11, 4, 2, 22, 2, 4, 4, 390, 2, 22, 2, 22, 4, 4, 2, 104, 11, 4, 59, 22, 2, 8, 2, … (OEIS의 수열 A27623)

크기가 $n$인 유한 가환 유사환의 동형류의 수는 다음과 같다 ($n=1,2,\dots$).

1, 2, 2, 9, 2, 4, 2, 34, 9, 4, 2, 18, 2, 4, 4, 162, 2, 18, 2, 18, 4, 4, 2, 68, 9, 4, 36, 18, 2, 8, 2, … (OEIS의 수열 A37289)

크기가 $n$인 유한환의 동형류의 수는 다음과 같다 ($n=1,2,\dots$).

1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 11, 4, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 50, 1, 4, 1, 4, 1, 1, 1, 11, 4, 1, 12, 4, 1, 1, 1, 208, 1, 1, 1, 16, 1, 1, 1, 11, 1, 1, 1, 4, 4, 1, 1, 50, 4, 4, 1, 4, 1, 11, 1, 11, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 4, … (OEIS의 수열 A37291)

크기가 $n$인 유한 가환환의 동형류의 수는 다음과 같다 ($n=1,2,\dots$).

1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 10, 4, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 37, 1, 4, 1, 4, 1, 1, 1, 10, 4, 1, 11, 4, 1, 1, 1, … (OEIS의 수열 A127707)

참고 문헌

• Fletcher, Colin R. (1980년 3월). “Rings of small order”. 《The Mathematical Gazette》 (영어) 64 (427): 9–22. doi:10.2307/3615885. JSTOR 3615885. 
• Antipkin, V. G.; V. P. Elizarov (1982년 7월). “Rings of order $p^{3}$” (영어) 23 (4): 457–464. doi:10.1007/BF00968650. 
• Derr, J.B.; G.F. Orr, Paul S. Peck (1994년 11월 25일). “Noncommutative rings of order $p^{4}$”. 《Journal of Pure and Applied Algebra》 (영어) 97 (2): 109–116. doi:10.1016/0022-4049(94)00015-8. 
• Corbas, B.; G.D. Williams (2000년 9월 15일). “Rings of order $p^{5}$ Part I. Nonlocal rings”. 《Journal of Algebra》 (영어) 231 (2): 677–690. doi:10.1006/jabr.2000.8349. ISSN 0021-8693. 
• Corbas, B.; G.D. Williams (2000년 9월 15일). “Rings of order $p^{5}$ Part II. Local rings”. 《Journal of Algebra》 (영어) 231 (2): 691–704. doi:10.1006/jabr.2000.8350. ISSN 0021-8693. 
• Ganske, G.; B.R. McDonald (1973). “Finite local rings”. 《Rocky Mountain Journal of Mathematics》 (영어) 3 (4): 521–540. doi:10.1216/RMJ-1973-3-4-521. MR 364218. Zbl 0289.12020. 

외부 링크

• Dresden, Gregory. “Small rings” (영어). 2010년 7월 17일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2010년 7월 17일에 확인함. 
• Nöbauer, Christof. “The numbers of small rings” (영어). 
• “Classification of finite commutative rings” (영어). Math Overflow.