이와사와 분해

리 군 이론에서, 이와사와 분해([岩澤]分解, 영어: Iwasawa decomposition)는 그람-슈미트 과정을 반단순 리 군에 일반화하여, 리 군의 원소를 멱영 성분·가환 성분·콤팩트 성분으로 나누는 분해이다.^:197–204

정의

리 대수의 이와사와 분해

다음이 주어졌다고 하자.

• 실수 반단순 리 대수 ${\mathfrak {g}}$
• ${\mathfrak {g}}$의 카르탕 대합 $\theta$

그렇다면, 이에 대한 카르탕 분해

${\mathfrak {g}}={\mathfrak {k}}\oplus {\mathfrak {p}}$

를 정의할 수 있다. 여기서 ${\mathfrak {k}}$는 콤팩트 리 대수이며, ${\mathfrak {p}}$는 일반적으로 리 대수가 아닌 실수 벡터 공간이다.

${\mathfrak {a}}\subset {\mathfrak {p}}$가 ${\mathfrak {p}}$ 속의 (임의로 고른) 극대 가환 부분 리 대수라고 하자. 그렇다면 ${\mathfrak {a}}$에 기저를 잡아 기저에 임의의 순서를 가하고, ${\mathfrak {n}}$이 $({\mathfrak {g}},{\mathfrak {a}})$의 제한근 가운데 양의 제한근에 대응하는 제한근 공간들의 직합이라고 하자. 그렇다면 다음과 같은, 실수 벡터 공간의 직합이 성립한다.

${\mathfrak {g}}={\mathfrak {k}}\oplus {\mathfrak {a}}\oplus {\mathfrak {n}}$

이를 ${\mathfrak {g}}$의 이와사와 분해라고 한다.

리 군의 이와사와 분해

$G$가 연결 실수 반단순 리 군이라고 하자. 그렇다면 그 리 대수의 이와사와 분해 ${\mathfrak {g}}={\mathfrak {k}}\oplus {\mathfrak {a}}\oplus {\mathfrak {n}}$에 대응하여, 각각의 지수 사상의 상

$K=\exp({\mathfrak {k}})\subset G$

$A=\exp({\mathfrak {a}})\subset G$

$N=\exp({\mathfrak {n}})\subset G$

을 정의할 수 있다. 이 경우

• $K$는 콤팩트 반단순 리 군이며, $G$의 닫힌 부분군이자 최대 콤팩트 부분군이다. $G$의 중심을 포함한다.
• $A$는 단일 연결 아벨 리 군이며, $G$의 닫힌 부분군이다.
• $N$은 단일 연결 멱영 리 군이며, $G$의 닫힌 부분군이다.

그렇다면, 다음과 같은 미분 동형이 존재한다.^{:203, Theorem 29.3} (물론, 이는 일반적으로 군 준동형이 아니다.)

$K\times A\times N\to G$

따라서, 임의의 원소 $g\in G$를

$g=k(g)a(g)n(g)$

$k(g)\in K$

$a(g)\in A$

$n(g)\in N$

과 같이 분해시킬 수 있다. 이것이 리 군의 이와사와 분해이다.

만약 $G$가 연결 공간이 아닌 반단순 리 군인 경우, 만약 $G$의 중심이 유한군이라면 역시 이와사와 분해를 정의할 수 있다. 이 경우, $K$는 $G$의 (연결 공간이 아닌) 최대 콤팩트 부분군이다.

리 군 또는 리 대수의 실수 계수(영어: real rank)는 그 아벨 성분의 실수 차원이다.

성질

실수 반단순 리 대수 ${\mathfrak {g}}$의 이와사와 분해

${\mathfrak {g}}={\mathfrak {k}}\oplus {\mathfrak {a}}\oplus {\mathfrak {n}}$

의 각 성분은 다음과 같은 성질을 갖는다.

• ${\mathfrak {k}}$는 콤팩트 리 대수이다. 즉, 그 킬링 형식은 음의 정부호이다.
• ${\mathfrak {a}}\subset {\mathfrak {p}}$는 가환 리 대수이다. 즉, $[{\mathfrak {a}},{\mathfrak {a}}]=0$이다.
• ${\mathfrak {n}}$은 멱영 리 대수이다. 즉, 충분히 큰 양의 정수 $n\in \mathbb {Z} ^{+}$에 대하여
  $\overbrace {[{\mathfrak {n}},[{\mathfrak {n}},[\cdots [{\mathfrak {n}},{\mathfrak {n}}]\cdots ]} ^{n{\text{ times}}}=0$
  이다.

카르탕 분해와의 관계

반단순 리 대수 ${\mathfrak {g}}$의 카르탕 대합 $\theta$이 주어졌을 때, 카르탕 분해

${\mathfrak {g}}={\mathfrak {k}}\oplus {\mathfrak {p}}$

를 정의할 수 있다. 이는 같은 $\theta$에 대한 이와사와 분해

${\mathfrak {g}}={\mathfrak {k}}\oplus {\mathfrak {a}}\oplus {\mathfrak {n}}$

와 다음과 같은 관계를 갖는다.

• 카르탕 분해의 ${\mathfrak {k}}$는 이와사와 분해의 ${\mathfrak {k}}$와 같다.
• 카르탕 분해의 ${\mathfrak {p}}$는 이와사와 분해의 ${\mathfrak {a}}$를 극대 아벨 부분 대수로서 포함한다. (그러나 ${\mathfrak {n}}$은 일반적으로 ${\mathfrak {k}}$의 부분 대수도, ${\mathfrak {p}}$의 부분 대수도 아니다.)
• 카르탕 분해에서, ${\mathfrak {p}}$는 일반적으로 리 대수가 아니다. 반면 이와사와 대수의 ${\mathfrak {a}}$와 ${\mathfrak {n}}$은 둘 다 리 대수이다.
• 카르탕 분해에서, ${\mathfrak {k}}$와 ${\mathfrak {p}}$는 킬링 형식에 대하여 서로 직교이다. 이와사와 분해에서, ${\mathfrak {k}}$와 ${\mathfrak {a}}$는 킬링 형식에 대하여 서로 직교이지만, ${\mathfrak {n}}$은 ${\mathfrak {k}}$ 및 ${\mathfrak {a}}$와 직교일 필요가 없다.

예

대표적인 리 군의 이와사와 분해는 다음과 같다.

군	콤팩트 성분	아벨 성분	멱영 성분
실수 일반선형군 $\operatorname {GL} (n,\mathbb {R} )$	직교군 $\operatorname {O} (n,\mathbb {R} )$	양의 대각행렬군 $(\mathbb {R} ^{+})^{n}$	대각 성분이 모두 1인 상삼각행렬군
실수 특수선형군 $\operatorname {SL} (n,\mathbb {R} )$	특수직교군 $\operatorname {SO} (n,\mathbb {R} )$	행렬식이 1인 양의 대각행렬군 $(\mathbb {R} ^{+})^{n-1}$	대각 성분이 모두 1인 상삼각행렬군
2×2 실수 특수선형군 $\operatorname {SL} (2,\mathbb {R} )$	$S^{1}\cong \left\{{\scriptstyle {\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}}\right\}$	$\mathbb {R} ^{+}\cong \left\{{\scriptstyle {\begin{pmatrix}a&0\\0&a^{-1}\end{pmatrix}}}|y\in \mathbb {R} ^{+}\right\}$	$\mathbb {R} \cong \left\{{\scriptstyle {\begin{pmatrix}1&a\\0&1\end{pmatrix}}}|a\in \mathbb {R} \right\}$
복소 일반선형군 $\operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )$	유니터리 군 $\operatorname {U} (n)$	양의 대각행렬군 $(\mathbb {R} ^{+})^{n}$	대각 성분이 모두 1인 복소 상삼각행렬군
복소 특수선형군 $\operatorname {SL} (n,\mathbb {C} )$	유니터리 군 $\operatorname {SU} (n)$	행렬식이 1인 양의 대각행렬군 $(\mathbb {R} ^{+})^{n-1}$	대각 성분이 모두 1인 복소 상삼각행렬군
콤팩트 반단순 리 군 $G$	$G$	자명군 1	자명군 1

그람-슈미트 과정

 이 부분의 본문은 그람-슈미트 과정입니다.

일반선형군 $\operatorname {GL} (n,\mathbb {R} )$의 이와사와 분해는 사실상 그람-슈미트 과정과 동치이다. 벡터 공간 $V\cong \mathbb {R} ^{n}$의 기저 $\{v_{1},\dots ,v_{n}\}\subset V$가 주어졌다고 하자. 그렇다면 행렬

$B={\begin{pmatrix}v_{1}&v_{2}&\cdots &v_{n}\end{pmatrix}}\in \operatorname {GL} (V)\cong \operatorname {GL} (n,\mathbb {R} )$

을 정의할 수 있다. 이 경우, 그람-슈미트 과정을 거치면, 이를

$U^{-1}B=O$

의 꼴로 분해시키게 되는데, 여기서 $O$는 그람-슈미트 과정을 통해 얻은 정규 직교 기저를 나타내는 직교행렬이며, $U$는 정규 직교 기저로의 변환을 나타내는 상삼각행렬이다. 이 경우, $U$를 추가로 분해하여

$U_{0}^{-1}D^{-1}B=O$

로 놓자. 여기서 $U_{0}$은 $B$를 직교 기저로 놓기 위한, 대각 성분이 모두 1인 상삼각행렬이고, $D$는 직교 기저를 정규 직교 기저로 만들기 위한, 양의 성분을 가진 대각행렬이다. 즉,

$B=U_{0}DO$

가 되며, 이는 $\operatorname {GL} (n,\mathbb {R} )$의 이와사와 분해이다.

상반평면의 이와사와 분해

리 군 $\operatorname {SL} (2,\mathbb {R} )$의 이와사와 분해는 보형 형식의 이론에서 등장한다. 이 경우, 복소 상반평면

$\mathbb {H} =\{x+iy|x\in \mathbb {R} ,y\in \mathbb {R} ^{+}\}$

은 다음과 같은 잉여류 공간으로 나타내어진다.

$\mathbb {H} =\operatorname {SL} (2,\mathbb {R} )/\operatorname {SO} (2,\mathbb {R} )$

즉, 이는 $\operatorname {SL} (2,\mathbb {R} )$의 이와사와 분해 $\operatorname {SO} (2,\mathbb {R} )\times \mathbb {R} ^{+}\times \mathbb {R}$에서 콤팩트 성분을 버린 것이다. 즉, 구체적인 대응 관계는 다음과 같다.

$x+iy\mapsto \left({\scriptstyle {\begin{pmatrix}y^{1/2}&0\\0&y^{-1/2}\end{pmatrix}}},{\scriptstyle {\begin{pmatrix}1&x\\0&1\end{pmatrix}}}\right)$

역사

이와사와 겐키치가 1949년에 도입하였다.

참고 문헌

• Abbaspour, Hossein; Martin Moskowitz (2007년 9월). 《Basic Lie theory》 (PDF) (영어). doi:10.1142/6462. ISBN 978-981-270-698-0. 2014년 6월 30일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2014년 6월 9일에 확인함. 

외부 링크

• “Iwasawa decomposition”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• 이철희. “이와사와 분해 (Iwasawa decomposition)”. 《수학노트》.