이차 방정식의 근의 공식
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다음은 이차 방정식의 일반적인 해법인 근의 공식이다. 그 사용법은 다음과 같다.
a
x
2
+
b
x
+
c
=
0
{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
c
{\displaystyle c}
실수 이고
a
≠
0
{\displaystyle a\neq 0}
x
1
{\displaystyle x_{1}}
x
2
{\displaystyle x_{2}}
x
1
,
2
=
−
b
±
b
2
−
4
a
c
2
a
{\displaystyle x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}}
이차 방정식의 근의 공식의 다른 형태는 다음과 같다.
x
1
,
2
=
2
c
−
b
±
b
2
−
4
a
c
{\displaystyle x_{1,2}={\frac {2c}{-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}}}
c
≠
0
{\displaystyle c\neq 0}
[1] 여기에서 제곱근 기호 안의 수, 즉
b
2
−
4
a
c
{\displaystyle b^{2}-4ac}
판별식 이라고 하며, 주로
D
{\displaystyle D}
판별식의 값에 따라 방정식의 해는 세 가지로 나뉜다.
만약 판별식이 양수이면, 방정식은 서로 다른 두 실근을 갖는다.
만약 판별식이 0이면, 방정식은 한 개의 실근을 갖는다. 이 때의 실근을 중근 이라고 한다.
만약 판별식이 음수이면, 방정식은 서로 다른 두 허근을 갖는다. 따라서, 실수 범위 내에서는 해가 존재하지 않는다. 따라서, 제곱근 기호
{\displaystyle {\sqrt {\;\;}}}
b
2
−
4
a
c
{\displaystyle b^{2}-4ac}
판별식 이 된다.
제곱근 루트의 성질에 의해서 루트의 내부가 양수이면 근의 공식은
±
{\displaystyle \pm {\sqrt {\;\;}}}
2
{\displaystyle 2}
0
{\displaystyle 0}
1
{\displaystyle 1}
−
1
{\displaystyle {\sqrt {-1\;}}}
i
{\displaystyle i}
또한, 루트의 내부가
0
{\displaystyle 0}
1
{\displaystyle 1}
−
b
±
b
2
−
4
a
c
2
a
=
−
b
±
0
2
a
=
−
b
2
a
{\displaystyle {{{-b}{\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}} \over {2a}}={{{-b}{\cancel {\pm {\sqrt {0}}}}} \over {2a}}=-{{b} \over {2a}}}
따라서, 축 의 방정식은 이와같이 유도되고,
따라서, 이차함수 의 꼭지점 과 대칭 축은
−
b
2
a
{\displaystyle -{{b} \over {2a}}}
근의 공식의 유도
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이차방정식의 근의 공식의 유도과정은 다음과 같다.완전제곱식 으로 만드는 것이다.
a
x
2
+
b
x
+
c
=
0
{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}
a
{\displaystyle a}
0
{\displaystyle 0}
a
{\displaystyle a}
x
2
{\displaystyle x^{2}}
1
{\displaystyle 1}
x
2
+
b
a
x
+
c
a
=
0
{\displaystyle \textstyle x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}=0}
가 얻어지고, 상수항만 우변으로 이항하면
x
2
+
b
a
x
=
−
c
a
{\displaystyle \textstyle x^{2}+{\frac {b}{a}}x=-{\frac {c}{a}}}
일차항
x
{\displaystyle x}
2
{\displaystyle 2}
x
2
+
b
a
x
+
(
b
2
a
)
2
=
−
c
a
+
(
b
2
a
)
2
{\displaystyle \textstyle x^{2}+{\frac {b}{a}}x+\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}=-{\frac {c}{a}}+\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}}
(
x
+
b
2
a
)
2
=
−
c
a
+
b
2
4
a
2
=
−
4
a
2
c
+
a
b
2
4
a
3
=
−
4
a
c
+
b
2
4
a
2
{\displaystyle \left(\textstyle x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}=-{\frac {c}{a}}+{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}={-{4a^{2}c}+{ab^{2}} \over {4a^{3}}}={-{4ac}+{b^{2}} \over {4a^{2}}}}
제곱근을 취하면
x
+
b
2
a
=
±
b
2
−
4
a
c
2
a
{\displaystyle \ x+{\frac {b}{2a}}=\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}{2a}}}
x
=
−
b
2
a
±
b
2
−
4
a
c
2
a
=
−
b
±
b
2
−
4
a
c
2
a
{\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}{2a}}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}}
a
≠
0
{\displaystyle a\neq 0}
가 얻어진다.
이차방정식 근의공식의 유도과정 아이디어는 고차방정식의 응용면에서도 중요하게 이용된다. 또한 판별식
D
=
b
2
−
4
a
c
{\displaystyle D=b^{2}-4ac}
0
{\displaystyle 0}
b
2
−
4
a
c
=
0
{\displaystyle b^{2}-4ac=0}
D
=
(
b
a
)
2
−
4
(
b
2
a
)
2
=
0
{\displaystyle D=\left({b \over a}\right)^{2}-4\left({b \over 2a}\right)^{2}=0}
짝수 공식
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이차 방정식에서 일차항의 계수
b
{\displaystyle b}
b
′
=
b
2
{\displaystyle \scriptstyle b'={\frac {b}{2}}}
x
=
−
b
′
±
b
′
2
−
a
c
a
{\displaystyle x={\frac {-b'\pm {\sqrt {b'^{2}-ac\ }}}{a}}}
근의 공식을 이용한 이차 방정식의 풀이
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이차 방정식
x
2
+
x
−
1
=
0
{\displaystyle x^{2}+x-1=0}
x
1
,
2
=
−
b
±
b
2
−
4
a
c
2
a
{\displaystyle x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}}
x
1
,
2
=
−
1
±
1
2
+
4
2
{\displaystyle x_{1,2}={\frac {-1\pm {\sqrt {1^{2}+4\ }}}{2}}}
x
1
,
2
=
−
1
±
5
2
{\displaystyle x_{1,2}={\frac {-1\pm {\sqrt {5\ }}}{2}}}
차 고차항 압축 정리(취른하우스 변형 )에 의한 근의 공식 유도
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다항 방정식에서 양변의 각항들을 해당 방정식의 최고차항(
n
{\displaystyle n}
x
{\displaystyle x}
a
{\displaystyle a}
x
=
y
−
b
n
a
{\displaystyle \textstyle x=y-{b \over \mathbf {n} a}}
이차 방정식
a
x
2
+
b
x
+
c
=
0
{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}
x
2
+
b
a
x
+
c
a
=
0
{\displaystyle x^{2}+{b \over a}x+{c \over a}=0}
그리고
y
2
+
p
=
0
{\displaystyle y^{2}+p=0}
x
=
y
−
b
n
a
{\displaystyle x=y-{b \over \mathbf {n} a}}
따라서,
x
2
+
b
a
x
+
c
a
=
0
,
x
=
y
−
b
2
a
{\displaystyle x^{2}+{b \over a}x+{c \over a}=0,\qquad x=y-{b \over \mathbf {2} a}}
(
y
−
b
2
a
)
2
+
b
a
(
y
−
b
2
a
)
+
c
a
=
0
{\displaystyle \left(y-{b \over \mathbf {2} a}\right)^{2}+{b \over a}\left(y-{b \over \mathbf {2} a}\right)+{c \over a}=0}
우선,
(
y
−
b
2
a
)
2
=
(
y
−
b
2
a
)
(
y
−
b
2
a
)
=
(
y
2
−
b
2
a
y
−
b
2
a
y
+
(
b
2
a
)
2
)
{\displaystyle \left(y-{b \over \mathbf {2} a}\right)^{2}=\left(y-{b \over \mathbf {2} a}\right)\left(y-{b \over \mathbf {2} a}\right)=\left(y^{2}-{b \over 2a}y-{b \over 2a}y+\left({b \over \mathbf {2} a}\right)^{2}\right)}
=
(
y
2
−
2
b
2
a
y
+
(
b
2
a
)
2
)
=
(
y
2
−
b
a
y
+
(
b
2
a
)
2
)
{\displaystyle =\left(y^{2}-2{b \over 2a}y+\left({b \over \mathbf {2} a}\right)^{2}\right)=\left(y^{2}-{b \over a}y+\left({b \over \mathbf {2} a}\right)^{2}\right)}
따라서,
(
y
2
−
b
a
y
+
(
b
2
a
)
2
)
+
b
a
(
y
−
b
2
a
)
+
c
a
=
0
{\displaystyle \left(y^{2}-{b \over a}y+\left({b \over \mathbf {2} a}\right)^{2}\right)+{b \over a}\left(y-{b \over \mathbf {2} a}\right)+{c \over a}=0}
(
y
2
−
b
a
y
+
(
b
2
a
)
2
)
+
(
b
a
y
−
b
a
b
2
a
)
+
c
a
=
0
{\displaystyle \left(y^{2}-{b \over a}y+\left({b \over \mathbf {2} a}\right)^{2}\right)+\left({b \over a}y-{b \over a}{b \over \mathbf {2} a}\right)+{c \over a}=0}
(
y
2
−
b
a
y
+
(
b
2
a
)
2
)
+
(
b
a
y
−
b
2
2
a
2
)
+
c
a
=
0
{\displaystyle \left(y^{2}-{b \over a}y+\left({b \over \mathbf {2} a}\right)^{2}\right)+\left({b \over a}y-{b^{2} \over \mathbf {2} a^{2}}\right)+{c \over a}=0}
y
2
−
b
a
y
+
(
b
2
a
)
2
+
b
a
y
−
b
2
2
a
2
+
c
a
=
0
{\displaystyle y^{2}{\cancel {-{b \over a}y}}+\left({b \over \mathbf {2} a}\right)^{2}{\cancel {+{b \over a}y}}-{b^{2} \over \mathbf {2} a^{2}}+{c \over a}=0}
y
2
+
(
1
4
(
b
a
)
2
−
1
2
(
b
a
)
2
)
+
c
a
=
0
{\displaystyle y^{2}+\left({1 \over 4}\left({b \over a}\right)^{2}-{1 \over 2}\left({b \over a}\right)^{2}\right)+{c \over a}=0}
y
2
−
1
4
(
b
a
)
2
+
c
a
=
0
{\displaystyle y^{2}-{1 \over 4}\left({b \over a}\right)^{2}+{c \over a}=0}
y
2
−
(
b
2
4
a
2
)
+
c
a
=
0
{\displaystyle y^{2}-\left({b^{2} \over 4a^{2}}\right)+{c \over a}=0}
y
2
=
b
2
4
a
2
−
c
a
{\displaystyle y^{2}={b^{2} \over 4a^{2}}-{c \over a}}
y
2
=
a
b
2
−
4
a
2
c
4
a
3
=
b
2
−
4
a
c
4
a
2
{\displaystyle y^{2}={{ab^{2}-4a^{2}c} \over 4a^{3}}={{b^{2}-4ac} \over 4a^{2}}}
y
2
=
±
b
2
−
4
a
c
4
a
2
{\displaystyle {\sqrt {y^{2}}}=\pm {\sqrt {{b^{2}-4ac} \over 4a^{2}}}}
y
=
±
b
2
−
4
a
c
2
a
{\displaystyle y={\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}} \over 2a}}
x
=
y
−
b
n
a
{\displaystyle x=y-{b \over \mathbf {n} a}}
x
=
±
b
2
−
4
a
c
2
a
−
b
2
a
{\displaystyle x={\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}} \over 2a}-{b \over 2a}}
x
=
±
b
2
−
4
a
c
−
b
2
a
{\displaystyle x={\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}-b \over 2a}}
x
=
−
b
±
b
2
−
4
a
c
2
a
{\displaystyle x={-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}} \over 2a}}
여기에서도 아이디어는 좌변을 완전제곱식 으로 만드는 것이다.
여기서는 완전제곱식은
y
2
{\displaystyle y^{2}}
이러한
b
n
a
{\displaystyle {b \over \mathbf {n} a}}
축 의 값과 관계있다.
근과 계수의 관계
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근의 공식을 이용한 근과 계수의 관계 증명 1
편집
a
x
2
+
b
x
+
c
=
0
{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}
α
,
β
{\displaystyle \alpha ,\beta }
α
=
−
b
+
b
2
−
4
a
c
2
a
{\displaystyle \alpha ={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}}
β
=
−
b
−
b
2
−
4
a
c
2
a
{\displaystyle \beta ={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}}
α
+
β
=
−
b
−
b
+
b
2
−
4
a
c
−
b
2
−
4
a
c
2
a
{\displaystyle \alpha +\beta ={\frac {-b-b+{\sqrt {b^{2}-4ac\ }}-{\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}}
α
+
β
=
−
2
b
2
a
{\displaystyle \alpha +\beta ={\frac {-2b}{2a}}}
∴
α
+
β
=
−
b
a
{\displaystyle \therefore \alpha +\beta =-{\frac {b}{a}}}
α
β
=
b
2
−
(
b
2
−
4
a
c
)
2
(
2
a
)
2
{\displaystyle \alpha \beta ={\frac {b^{2}-({\sqrt {b^{2}-4ac\ }})^{2}}{(2a)^{2}}}}
α
β
=
b
2
−
b
2
+
4
a
c
4
a
2
{\displaystyle \alpha \beta ={\frac {b^{2}-b^{2}+4ac}{4a^{2}}}}
α
β
=
4
a
c
4
a
2
{\displaystyle \alpha \beta ={\frac {4ac}{4a^{2}}}}
∴
α
β
=
c
a
{\displaystyle \therefore \alpha \beta ={\frac {c}{a}}}
|
α
−
β
|
=
|
−
b
+
b
2
−
4
a
c
+
b
+
b
2
−
4
a
c
2
a
|
{\displaystyle \left|\alpha -\beta \right|=\left|{\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac\ }}+b+{\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}\right|}
|
α
−
β
|
=
|
2
b
2
−
4
a
c
2
a
|
{\displaystyle \left|\alpha -\beta \right|=\left|{\frac {2{\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}\right|}
∴
|
α
−
β
|
=
b
2
−
4
a
c
|
a
|
{\displaystyle \therefore \left|\alpha -\beta \right|={\frac {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}{\left|a\right|}}}
단, a는 0 이 반드시 아니어야 한다.(0으로 나누기 에 따르면 분모가 0 일 때 값을 정의할 수 없기 때문이다.)
이차방정식 만들기를 이용한 근과 계수의 관계 증명 2
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a
x
2
+
b
x
+
c
=
0
{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}
α
,
β
{\displaystyle \alpha ,\beta }
α
,
β
{\displaystyle \alpha ,\beta }
(
x
−
α
)
(
x
−
β
)
=
0
{\displaystyle (x-\alpha )(x-\beta )=0}
이 이차방정식 앞에 계수
a
{\displaystyle a}
a
{\displaystyle a}
0
{\displaystyle 0}
a
x
2
+
b
x
+
c
=
0
⟺
a
(
x
−
α
)
(
x
−
β
)
=
0
{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0\iff a(x-\alpha )(x-\beta )=0}
(∵ 두 이차방정식의 해가 같으므로)
a
(
x
−
α
)
(
x
−
β
)
=
0
{\displaystyle a(x-\alpha )(x-\beta )=0}
x
2
+
(
−
α
−
β
)
x
+
α
β
{\displaystyle x^{2}+(-\alpha -\beta )x+\alpha \beta }
또한, 첫 번째 이차방정식인
a
x
2
+
b
x
+
c
=
0
{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}
최고차항
a
x
2
{\displaystyle ax^{2}}
a
{\displaystyle a}
x
2
+
b
a
x
+
c
a
=
0
{\displaystyle x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}=0}
ⓐ = ⓑ 이므로, 따라서
−
α
−
β
=
b
a
,
−
(
α
+
β
)
=
b
a
{\displaystyle -\alpha -\beta ={\frac {b}{a}},-(\alpha +\beta )={\frac {b}{a}}}
∴
α
+
β
=
−
b
a
{\displaystyle \therefore \alpha +\beta =-{\frac {b}{a}}}
∴
α
β
=
c
a
{\displaystyle \therefore \alpha \beta ={\frac {c}{a}}}
참고로 이 차방정식은 브라마굽타에 이어 알콰리즈미 에 의해 공식이 구해졌다.
같이 보기
편집
↑ 물론, 이차방정식이므로
a
≠
0
{\displaystyle a\neq 0}
근과 계수의 관계 문서를 참고하십시오.
