다음이 주어졌다고 하자.
매끄러운 다양체
U
{\displaystyle U}
매끄러운 벡터 다발
E
↠
U
{\displaystyle E\twoheadrightarrow U}
미분 연산자
D
:
C
∞
(
U
,
E
)
→
C
∞
(
U
,
E
)
{\displaystyle D\colon {\mathcal {C}}^{\infty }(U,E)\to {\mathcal {C}}^{\infty }(U,E)}
만약 임의의
열린집합
V
⊆
U
{\displaystyle V\subseteq U}
분포
u
∈
D
(
V
,
E
)
{\displaystyle u\in {\mathcal {D}}(V,E)}
에 대하여,
D
u
∈
C
∞
(
V
,
E
)
⟹
u
∈
C
∞
(
V
,
E
)
{\displaystyle Du\in {\mathcal {C}}^{\infty }(V,E)\implies u\in {\mathcal {C}}^{\infty }(V,E)}
이라면,
D
{\displaystyle D}
준타원형 미분 연산자 라고 한다.
C
∞
{\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }}
타원형 미분 연산자 는 준타원형 미분 연산자이다. 특히, 리만 다양체 위의 라플라스 연산자 는 매끄러운 계수의 타원형 미분 연산자이므로 준타원형 미분 연산자이다.
매끄러운 다양체
U
=
R
×
R
n
=
{
(
t
,
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
)
:
t
,
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
∈
R
}
{\displaystyle U=\mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{n}=\{(t,x^{1},x^{2},\dotsc ,x^{n})\colon t,x^{1},x^{2},\dotsc ,x^{n}\in \mathbb {R} \}}
위의 열방정식 미분 연산자
D
=
∂
∂
t
−
∑
i
=
1
n
∂
2
(
∂
x
i
)
2
{\displaystyle D={\frac {\partial }{\partial t}}-\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}}{(\partial x^{i})^{2}}}}
는 준타원형 미분 연산자이지만, 타원형 미분 연산자 가 아니다. (주표상 이
diag
(
0
,
−
1
,
−
1
,
…
,
−
1
)
{\displaystyle \operatorname {diag} (0,-1,-1,\dotsc ,-1)}
음의 정부호 가 아니다.)
반면, 같은 매끄러운 다양체 위의 파동 방정식 미분 연산자
◻
2
=
∂
2
∂
t
2
−
∑
i
=
1
n
∂
2
(
∂
x
i
)
2
{\displaystyle \square ^{2}={\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}}{(\partial x^{i})^{2}}}}
는 타원형 미분 연산자도, 준타원형 미분 연산자도 아니다.
참고 문헌
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“What is … hypoellipticity?”. 《Notices of the American Mathematical Society》 (영어) 65 (4): 418–419. 2018년 4월. doi :10.1090/noti1670 . Street, Brian (2018년 4월). “What else about … hypoellipticity?”. 《Notices of the American Mathematical Society》 (영어) 65 (4): 418–419. doi :10.1090/noti1664 . 
