응용수학의 분야인 수치 해석에서, 중간점 방법은 수치적으로 다음의 미분 방정식을 푸는 한 단계 크기의 방법이다.
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명시적인 중간점 방법은 다음의 식으로 주어진다.
암시적인 중간점 방법은 다음과 같다.
단계 이고, 는 단계 크기라고 불리는 작은 양수이다. 이고, 은 이다. 명시적 중간점 방법은 수정된 오일러 방법으로도 알려져 있으며,[1] 암시적인 방법은 가장 간단한 배열 방법이고, 해밀턴 역학과, 사교 적분자에도 적용된다.
이 방법의 이름은 솔루션의 기울기를 위의 식에서 함수가 의 알고 있는 값인 과 우리가 찾아야 하는 의 값인 의 중점인 에서 계산하는 것에서 지어졌다.
중간점 방법의 각 단계에서의 지역 오차는 이며,전체 오차는 로 나타난다. 따라서, 오일러의 방법보다는 더욱 계산이 많은 반면에, 방법의 중간점 방법의 오차는 일반적으로 일 때, 오일러의 방법보다 더욱 빠르게 감소한다.
이 방법은 룽게-쿠타 방법이라는 높은 차수의 방법의 예시 중 하나이다.
중간점 방법의 유도
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중간점 방법은 다음의 오일러 방법의 구체화이다.
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그리고 중간점 방법은 같은 방식으로 도출된다. 오일러 방법을 유도하는 핵심은 근사적으로 같은 것이다.
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이것은 기울기의 수식에서 얻은 것이다.
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인 것을 기억하자.
중간점 방법의 경우, (3)이 더욱 정확하게 된다.
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(2)를 대신 할 때, 우리는 다음을 찾는다.
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에서 의 값을 모르는 경우에는 이 방법을 사용해서 를 구할 수 없다. 이 솔루션은 오일러 방법을 사용하여 을 구할 때처럼 테일러 급수를 사용한다:
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(4)에 적용할 때, 다음과 명시적 중간점 방법 (1e)를 얻을 수 있다.
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내재적 방법 (1i)은 에서 까지의 선분의 중간점으로 반 단계인 에서의 값을 근사해서 얻을 수 있다.
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따라서
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에 를 대입한 결과는 암시적 룽게-쿠타 방법이 된다.
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첫번째 부분에서 단계 크기 암시적 오일러 방법이 포함된다.
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암시적인 방법의 시간대칭성 때문에 지역 오차의 짝수 차수 항이 지워지기 때문에 자동적으로 지역오차는 이다. 명시적 오일러 방법이 암시적 방법으로 대체되면 명시적인 중간점 방법에서 k의 결과를 재결정한다.
같이 보기
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- Griffiths,D. V.; Smith, I. M. (1991). 《Numerical methods for engineers: a programming approach》. Boca Raton: CRC Press. 218쪽. ISBN 0-8493-8610-1.