다음이 주어졌다고 하자.
가환환
K
{\displaystyle K}
K
{\displaystyle K}
가군
V
{\displaystyle V}
V
{\displaystyle V}
대칭 쌍선형 형식
B
:
Sym
2
V
→
K
{\displaystyle B\colon \operatorname {Sym} ^{2}V\to K}
그렇다면,
V
{\displaystyle V}
자기 준동형 으로 구성된
K
{\displaystyle K}
리 대수
g
l
(
V
;
K
)
=
End
K
(
V
)
=
hom
K
(
V
,
V
)
{\displaystyle {\mathfrak {gl}}(V;K)=\operatorname {End} _{K}(V)=\hom _{K}(V,V)}
를 생각할 수 있다. 이 속에서, 다음과 같은
K
{\displaystyle K}
부분 가군 은
K
{\displaystyle K}
부분 리 대수 를 이루며, 이를
V
{\displaystyle V}
B
{\displaystyle B}
직교 리 대수 라고 한다.
o
(
V
,
B
)
=
{
M
∈
g
l
(
V
;
K
)
:
B
(
v
,
M
v
)
=
0
∀
v
∈
V
}
{\displaystyle {\mathfrak {o}}(V,B)=\{M\in {\mathfrak {gl}}(V;K)\colon B(v,Mv)=0\;\forall v\in V\}}
증명:
우선, 임의의
M
∈
o
(
V
,
B
)
{\displaystyle M\in {\mathfrak {o}}(V,B)}
0
=
B
(
u
+
v
,
M
(
u
+
v
)
)
−
B
(
u
,
M
u
)
−
B
(
v
,
M
v
)
=
B
(
u
,
M
v
)
+
B
(
v
,
M
u
)
{\displaystyle 0=B(u+v,M(u+v))-B(u,Mu)-B(v,Mv)=B(u,Mv)+B(v,Mu)}
이다. 따라서, 임의의
M
,
N
∈
o
(
V
,
B
)
{\displaystyle M,N\in {\mathfrak {o}}(V,B)}
B
(
v
,
M
N
v
)
=
−
B
(
M
v
,
N
v
)
=
B
(
N
M
v
,
v
)
=
B
(
v
,
N
M
v
)
{\displaystyle B(v,MNv)=-B(Mv,Nv)=B(NMv,v)=B(v,NMv)}
이다. 즉,
B
(
v
,
[
M
,
N
]
v
)
=
0
{\displaystyle B(v,[M,N]v)=0}
이다.
만약 가환환
K
{\displaystyle K}
가역원 이라면,
M
∈
g
l
(
V
;
K
)
{\displaystyle M\in {\mathfrak {gl}}(V;K)}
동치 이다.
B
(
v
,
M
v
)
=
0
∀
v
∈
V
{\displaystyle B(v,Mv)=0\qquad \forall v\in V}
B
(
u
,
M
v
)
=
−
B
(
v
,
M
u
)
∀
u
,
v
∈
V
{\displaystyle B(u,Mv)=-B(v,Mu)\qquad \forall u,v\in V}
그러나 만약 2가 가역원 이 아니라면 일반적으로 전자가 후자보다 더 강한 조건이다.
증명:
조건 1 ⇒ 조건 2:
0
=
B
(
u
+
v
,
M
(
u
+
v
)
)
−
B
(
u
,
M
u
)
−
B
(
v
,
M
v
)
=
B
(
u
,
M
v
)
+
B
(
v
,
M
u
)
{\displaystyle 0=B(u+v,M(u+v))-B(u,Mu)-B(v,Mv)=B(u,Mv)+B(v,Mu)}
2가 가역원 일 때, 조건 2 ⇒ 조건 1:
B
(
v
,
M
v
)
=
−
B
(
v
,
M
v
)
{\displaystyle B(v,Mv)=-B(v,Mv)}
2
B
(
v
,
M
v
)
=
0
{\displaystyle 2B(v,Mv)=0}
만약 추가로
K
{\displaystyle K}
체 이며,
V
{\displaystyle V}
B
{\displaystyle B}
V
{\displaystyle V}
쌍대 공간
V
∗
{\displaystyle V^{*}}
B
{\displaystyle B}
행렬 로 표기하였을 때 반대칭 행렬 이 되는 선형 변환 들로 구성된다. 즉, 아인슈타인 표기법 으로,
B
(
u
,
v
)
=
B
i
j
u
i
v
j
{\displaystyle B(u,v)=B_{ij}u^{i}v^{j}}
로 적으면,
M
∈
o
(
V
,
B
)
⟺
M
i
j
=
−
M
j
i
(
M
i
j
=
d
e
f
B
i
i
′
M
i
′
j
)
{\displaystyle M\in {\mathfrak {o}}(V,B)\iff M_{ij}=-M_{ji}\qquad (M_{ij}\,{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\,B_{ii'}M^{i'}{}_{j})}
이다.
가환환
K
{\displaystyle K}
가군
V
{\displaystyle V}
이차 형식
Q
:
V
→
K
{\displaystyle Q\colon V\to K}
대칭 쌍선형 형식 이
B
(
u
,
v
)
=
Q
(
u
+
v
)
−
Q
(
u
)
−
Q
(
v
)
{\displaystyle B(u,v)=Q(u+v)-Q(u)-Q(v)}
라고 하자. 그렇다면, 리 대수
o
(
V
,
B
)
{\displaystyle {\mathfrak {o}}(V,B)}
직교군
O
(
V
,
Q
)
{\displaystyle \operatorname {O} (V,Q)}
리 대수 이다.
대수군 의 경우와 달리, 리 대수 는 이차 형식 에 직접적으로 의존하지 않으며, 오직 그 연관 대칭 쌍선형 형식 에만 의존한다. 이는 직교군 의 정의가
Q
(
M
v
)
=
Q
(
v
)
∀
v
∈
V
{\displaystyle Q(Mv)=Q(v)\qquad \forall v\in V}
인데, 이를 “무한소화”하면
Q
(
(
1
+
t
M
)
v
)
=
Q
(
v
)
+
O
(
t
2
)
{\displaystyle Q((1+tM)v)=Q(v)+{\mathcal {O}}(t^{2})}
가 된다. 그런데
Q
(
(
1
+
t
M
)
v
=
Q
(
v
)
+
t
B
(
v
,
M
v
)
+
t
2
Q
(
M
v
)
{\displaystyle Q((1+tM)v=Q(v)+tB(v,Mv)+t^{2}Q(Mv)}
이므로, 이는 오직
B
(
−
,
−
)
{\displaystyle B(-,-)}
만약
B
=
0
{\displaystyle B=0}
o
(
V
,
B
)
=
g
l
(
V
)
{\displaystyle {\mathfrak {o}}(V,B)={\mathfrak {gl}}(V)}
만약
V
{\displaystyle V}
유한 생성 자유 가군 일 경우, 대각합 이 0인 가군 준동형 들로 구성된 특수 선형 리 대수
s
l
(
V
;
K
)
=
{
M
∈
g
l
(
V
;
K
)
:
tr
M
=
0
}
⊆
g
l
(
V
;
K
)
{\displaystyle {\mathfrak {sl}}(V;K)=\{M\in {\mathfrak {gl}}(V;K)\colon \operatorname {tr} M=0\}\subseteq {\mathfrak {gl}}(V;K)}
를 정의할 수 있다. 이 경우, 특수 직교 리 대수 (영어 : special orthogonal Lie algebra )
s
o
(
V
,
B
)
=
o
(
V
,
B
)
∩
s
l
(
V
;
K
)
{\displaystyle {\mathfrak {so}}(V,B)={\mathfrak {o}}(V,B)\cap {\mathfrak {sl}}(V;K)}
를 정의할 수 있다.
만약
K
{\displaystyle K}
체 이며,
B
{\displaystyle B}
비퇴화 쌍선형 형식 일 경우,
s
o
(
V
,
B
)
=
o
(
V
,
B
)
{\displaystyle {\mathfrak {so}}(V,B)={\mathfrak {o}}(V,B)}
char
K
=
2
{\displaystyle \operatorname {char} K=2}
K
{\displaystyle K}
벡터 공간 위에서, 비특이 이차 형식 에 대응되는 대칭 쌍선형 형식 은 퇴화 대칭 쌍선형 형식 이며, 이 경우 직교 리 대수는 특수 선형 리 대수에 포함되지 않는다. 예를 들어, 표수가 2인 체 위에서,
1
n
×
n
∈
s
l
(
n
;
F
2
)
⟺
2
∣
n
{\displaystyle 1_{n\times n}\in {\mathfrak {sl}}(n;\mathbb {F} _{2})\iff 2\mid n}
이지만,
B
{\displaystyle B}
이차 형식 에 대응되는) 교대 대칭 쌍선형 형식 이라면
B
(
v
,
1
n
×
n
v
)
=
0
{\displaystyle B(v,1_{n\times n}v)=0}
이므로 항상
1
n
×
n
∈
o
(
n
,
B
;
F
2
)
{\displaystyle 1_{n\times n}\in {\mathfrak {o}}(n,B;\mathbb {F} _{2})}
![{\displaystyle B(v,[M,N]v)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ae0e1ddccb314986b71612a486052802d30c6e1)
