호모토피 이론 에서 직교 스펙트럼 (直交spectrum, 영어 : orthogonal spectrum )은 직교군 의 등변 작용 을 갖춘 스펙트럼 의 일종이다.[1] 이들의 범주는 분쇄곱을 가져 대칭 모노이드 범주 를 이루며, 따라서 그 속에서 환 스펙트럼 이 잘 정의된다.
CGWH
{\displaystyle \operatorname {CGWH} }
가 콤팩트 생성 약한 하우스도르프 공간 의 범주라고 하자. 이는 (모든 위상 공간의 범주와 달리) 데카르트 닫힌 범주 를 이룬다. 이 범주에 대하여, 점을 가진 공간 의 범주
CGWH
∙
=
CGWH
∖
{
∙
}
{\displaystyle \operatorname {CGWH} _{\bullet }=\operatorname {CGWH} \backslash \{\bullet \}}
를 한원소 공간
{
∙
}
{\displaystyle \{\bullet \}}
위의 쌍대 조각 범주 로서 취할 수 있다. 이제, 곱공간 과 분쇄곱 연산은 이 범주에서 취한다고 하자.
G
{\displaystyle G}
가 다음 세 가지 가운데 하나라고 하자.
이름
G
(
n
)
{\displaystyle G(n)}
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
k
=
dim
R
K
{\displaystyle k=\dim _{\mathbb {R} }\mathbb {K} }
G
{\displaystyle G}
구조 스펙트럼의 이름
직교군
O
(
n
)
{\displaystyle \operatorname {O} (n)}
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
실수체
1
직교 스펙트럼 (영어 : orthogonal spectrum )
유니터리 군
U
(
n
)
{\displaystyle \operatorname {U} (n)}
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
복소수체
2
유니터리 스펙트럼 (영어 : unitary spectrum )
콤팩트 심플렉틱 군
USp
(
2
n
)
=
Sp
(
n
)
{\displaystyle \operatorname {USp} (2n)=\operatorname {Sp} (n)}
H
{\displaystyle \mathbb {H} }
사원수 대수
4
심플렉틱 스펙트럼 (영어 : symplectic spectrum )
다음과 같은 범주
V
K
{\displaystyle {\mathcal {V}}_{\mathbb {K} }}
를 생각하자.
V
K
{\displaystyle {\mathcal {V}}_{\mathbb {K} }}
의 대상은 유한 차원
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
-내적 공간 이다.
V
K
{\displaystyle {\mathcal {V}}_{\mathbb {K} }}
의 사상은 같은 차원의 내적 공간 사이의 유니터리 변환 들이다. 즉, 그 사상 집합은
hom
V
K
(
V
,
V
)
≅
G
(
dim
K
V
)
{\displaystyle \hom _{{\mathcal {V}}_{\mathbb {K} }}(V,V)\cong G(\dim _{\mathbb {K} }V)}
이다.
이는 내적 공간의 직합 에 대하여 대칭 모노이드 범주 를 이룬다. 실수
n
k
{\displaystyle nk}
차원 유클리드 공간
V
{\displaystyle V}
의 알렉산드로프 콤팩트화
V
^
{\displaystyle {\hat {V}}}
는
n
k
{\displaystyle nk}
차원 초구
S
n
k
{\displaystyle \mathbb {S} ^{nk}}
이며, 이에 따라 함자
m
^
:
V
→
CGWH
∙
{\displaystyle {\hat {\color {White}m}}\colon {\mathcal {V}}\to \operatorname {CGWH} _{\bullet }}
가 존재한다. (밑점은 알렉산드로프 콤팩트화 에 의하여 추가된 점이다.)
이 경우,
G
{\displaystyle G}
구조 스펙트럼 (영어 : spectrum with
G
{\displaystyle G}
-structure )
X
{\displaystyle X}
는 다음과 같은 데이터로 구성된다.[2] :Definition 7.2
함자
X
:
V
K
→
CGWH
∙
{\displaystyle X\colon {\mathcal {V}}_{\mathbb {K} }\to \operatorname {CGWH} _{\bullet }}
.
n
{\displaystyle n}
차원 내적 공간의 상을
X
(
n
)
=
X
(
K
n
)
∈
CGWH
∙
{\displaystyle X(n)=X(\mathbb {K} ^{n})\in \operatorname {CGWH} _{\bullet }}
이라고 하자. 특히,
X
(
n
)
{\displaystyle X(n)}
위에는
Aut
V
K
(
K
n
)
=
G
(
n
)
{\displaystyle \operatorname {Aut} _{{\mathcal {V}}_{\mathbb {K} }}(\mathbb {K} ^{n})=G(n)}
의 연속 작용 이 주어진다.
각
V
,
W
∈
V
K
{\displaystyle V,W\in {\mathcal {V}}_{\mathbb {K} }}
에 대하여, 밑점을 보존하는 연속 함수
f
V
,
W
:
V
^
∧
X
(
W
)
→
X
(
V
⊕
W
)
{\displaystyle f_{V,W}\colon {\hat {V}}\wedge X(W)\to X(V\oplus W)}
. 이를 구조 사상 (構造寫像, 영어 : structure map )이라고 한다. 이는 또한 다음 조건들을 만족시켜야 한다.
(등변성)
f
V
,
W
:
V
^
∧
X
(
W
)
→
X
(
V
⊕
W
)
{\displaystyle f_{V,W}\colon {\hat {V}}\wedge X(W)\to X(V\oplus W)}
는
G
(
V
)
×
G
(
W
)
{\displaystyle G(V)\times G(W)}
의 작용 에 대하여 등변 함수 이다.
(항등원)
f
0
,
V
=
id
X
(
V
)
{\displaystyle f_{0,V}=\operatorname {id} _{X(V)}}
(항등 함수 )
(결합성)
f
W
,
U
⊕
V
∘
f
V
,
U
=
f
W
⊕
V
,
U
:
W
⊕
V
^
∧
X
(
U
)
→
X
(
W
⊕
V
⊕
U
)
{\displaystyle f_{W,U\oplus V}\circ f_{V,U}=f_{W\oplus V,U}\colon {\widehat {W\oplus V}}\wedge X(U)\to X(W\oplus V\oplus U)}
이다. (여기서 초구 의 분쇄곱 사이의 표준적 사상
W
⊕
V
^
≅
W
^
∧
V
^
{\displaystyle {\widehat {W\oplus V}}\cong {\widehat {W}}\wedge {\hat {V}}}
를 사용하였다.)
두 직교 스펙트럼
X
{\displaystyle X}
,
Y
{\displaystyle Y}
사이의 사상 은 구조 사상과 호환되는 자연 변환
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f\colon X\to Y}
이다. 여기서 구조 사상과 호환된다는 것은 다음 그림이 가환한다는 것이다.
X
(
V
)
∧
S
k
→
f
V
∧
S
k
Y
(
V
)
∧
S
k
↓
↓
X
(
V
⊕
K
)
→
f
V
⊕
K
Y
(
V
⊕
K
)
{\displaystyle {\begin{matrix}X(V)\wedge \mathbb {S} ^{k}&{\xrightarrow {f_{V}\wedge \mathbb {S} ^{k}}}&Y(V)\wedge \mathbb {S} ^{k}\\\downarrow &&\downarrow \\X(V\oplus \mathbb {K} )&{\xrightarrow[{f_{V\oplus \mathbb {K} }}]{}}&Y(V\oplus \mathbb {K} )\end{matrix}}}
K
=
R
{\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} }
일 때, 직교군 구조 스펙트럼을 줄여서 직교 스펙트럼 이라고 한다. 마찬가지로,
K
=
C
{\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {C} }
인 경우는 유니터리 스펙트럼 ,
K
=
H
{\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {H} }
인 경우는 심플렉틱 스펙트럼 이다.
대칭군
Sym
(
n
)
{\displaystyle \operatorname {Sym} (n)}
은
O
(
n
)
{\displaystyle \operatorname {O} (n)}
의 부분군 이므로, 직교 스펙트럼은 (추가 구조를 갖춘) 대칭 스펙트럼 이다.
직교 스펙트럼
X
{\displaystyle X}
의 안정 호모토피 군 (영어 : stable homotopy group )은 다음과 같다.
π
∙
(
X
)
=
lim
→
n
→
∞
π
∙
+
n
(
X
(
R
n
)
)
{\displaystyle \pi _{\bullet }(X)=\varinjlim _{n\to \infty }\pi _{\bullet +n}(X(\mathbb {R} ^{n}))}
직교 스펙트럼 사이의 약한 동치 (영어 : weak equivalence )는 안정 호모토피 군의 동형을 유도하는 직교 스펙트럼 사상이다. 이에 따라 직교 스펙트럼의 범주 위에는 모형 범주 구조가 존재하며, 이에 따른 호모토피 범주 는 다른 스펙트럼 범주의 호모토피 범주와 동치 이다.
참고 문헌
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외부 링크
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