직류 회로 는 직류 전원이 연결된 전기 회로 를 말한다. 직류 전원은 건전지나 직류전원장치 등에 의해 공급되며 전원이 공급될 때 전류의 방향이 바뀌지 않는다.
저항만 연결된 경우
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저항 회로 전원장치와 저항만이 연결된 직류회로는 전기회로 중 가장 간단한 전기회로들 중의 하나이다. 이때 전원장치의 기전력을 V, 저항의 저항값을 R이라 하면 회로에 흐르는 전류는 다음과 같이 표현가능하다.
I
=
V
R
{\displaystyle I={\frac {V}{R}}}
축전기(콘덴서)만 연결된 경우
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축전지 회로 축전기(콘덴서) 양단에 걸린 전압을 V, 축전기의 전기용량을 C라고 하면 축전기에 저장되는 전하량 Q는 다음과 같이 표현가능하다.
Q
=
C
V
{\displaystyle Q=CV}
저항과 축전기가 연결된 경우 (RC 회로)
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RC 회로 키르히호프의 정리 에 의해 전원장치의 기전력
V
{\displaystyle V}
V
R
{\displaystyle V_{R}}
V
C
{\displaystyle V_{C}}
V
=
V
R
+
V
C
{\displaystyle V=V_{R}+V_{C}}
위 식에서
V
=
I
R
+
Q
C
{\displaystyle V=IR+{\frac {Q}{C}}}
임을 알 수 있으며
I
=
d
Q
d
t
{\displaystyle I={\frac {dQ}{dt}}}
이므로 아래와 같은 미분방정식을 얻을 수 있다.
V
=
R
d
Q
d
t
+
Q
C
{\displaystyle V=R{\frac {dQ}{dt}}+{\frac {Q}{C}}}
위 미분방정식의 해를 구하면
Q
=
C
V
(
1
−
e
−
1
R
C
(
t
−
t
i
)
)
+
Q
i
e
−
1
R
C
(
t
−
t
i
)
{\displaystyle Q=CV(1-e^{-{\frac {1}{RC}}(t-t_{i})})+Q_{i}e^{-{\frac {1}{RC}}(t-t_{i})}}
이 때,
t
i
{\displaystyle t_{i}}
Q
i
{\displaystyle Q_{i}}
t
i
=
0
{\displaystyle t_{i}=0}
Q
i
{\displaystyle Q_{i}}
Q
0
{\displaystyle Q_{0}}
Q
=
Q
0
(
1
−
e
−
1
R
C
t
)
+
Q
i
e
−
1
R
C
t
{\displaystyle Q=Q_{0}(1-e^{-{\frac {1}{RC}}t})+Q_{i}e^{-{\frac {1}{RC}}t}}
따라서 시간 t일 때 회로에 흐르는 전류의 량은
I
=
d
Q
d
t
=
Q
0
−
Q
i
R
C
e
−
1
R
C
t
=
(
V
R
−
Q
i
R
C
)
e
−
1
R
C
t
{\displaystyle I={\frac {dQ}{dt}}={\frac {Q_{0}-Q_{i}}{RC}}e^{-{\frac {1}{RC}}t}=({\frac {V}{R}}-{\frac {Q_{i}}{RC}})e^{-{\frac {1}{RC}}t}}
임을 알 수 있다. 따라서, 저항, 축전기에 걸리는 전압은 각각 다음과 같다.
V
R
=
(
V
−
Q
i
C
)
e
−
1
R
C
t
{\displaystyle V_{R}=(V-{\frac {Q_{i}}{C}})e^{-{\frac {1}{RC}}t}}
V
C
=
V
−
(
V
−
Q
i
C
)
e
−
1
R
C
t
{\displaystyle V_{C}=V-(V-{\frac {Q_{i}}{C}})e^{-{\frac {1}{RC}}t}}
아무리 저항이 작은 물질을 도선으로 사용한다고 하더라도 전원장치에 축전기를 연결한 회로에는 미량의 저항이 존재한다. 따라서 이 회로는 저항과 축전기가 직렬로 연결된 회로라고 생각할 수 있다. 한편 식 (4)는 축전기에 저장되는 전하량을 표현하고 있는데, 이 때,
Q
0
>
Q
i
{\displaystyle Q_{0}>Q_{i}}
Q
0
{\displaystyle Q_{0}}
저항과 코일이 연결된 경우(RL 회로)
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RL 회로 코일의 유도용량이 L이고, 코일에 흐르는 전류가 I일 때, 코일에는 전류가 흐르는 방향으로
V
L
=
L
d
I
d
t
{\displaystyle V_{L}=L{\frac {dI}{dt}}}
의 유도기전력이 발생하여 전압강하를 일으킨다. 따라서 키르히호프의 정리에 의해 아래와 같은 미분방정식을 얻을 수 있다.
V
=
V
R
+
V
L
=
I
R
+
L
d
I
d
t
{\displaystyle V=V_{R}+V_{L}=IR+L{\frac {dI}{dt}}}
위 미분방정식의 해를 구하면
I
=
V
R
(
1
−
e
−
R
L
(
t
−
t
i
)
)
+
I
i
e
−
R
L
(
t
−
t
i
)
{\displaystyle I={\frac {V}{R}}(1-e^{-{\frac {R}{L}}(t-t_{i})})+I_{i}e^{-{\frac {R}{L}}(t-t_{i})}}
이고 처음 시간을 0, 이 순간의 전류가 0이었다면
I
=
V
R
(
1
−
e
−
R
L
t
)
{\displaystyle I={\frac {V}{R}}(1-e^{-{\frac {R}{L}}t})}
로 식을 정리할 수 있다.
따라서 저항체 양단에 걸리는 전압과 코일에 걸리는 유도기전력은 다음과 같다.
V
R
=
V
(
1
−
e
−
R
L
t
)
{\displaystyle V_{R}=V(1-e^{-{\frac {R}{L}}t})}
V
L
=
V
e
−
R
L
t
{\displaystyle V_{L}=Ve^{-{\frac {R}{L}}t}}
이 부분의 본문은 RC 회로입니다.
