수학 에서 집합족 (集合族, 영어 : family of sets )은 집합 들을 원소로 하여 구성된 집합 이다.
집합
X
{\displaystyle X}
속의 집합족
F
⊆
P
(
X
)
{\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)}
에 대하여, 다음과 같은 성질들을 정의할 수 있다.
집합 반환 (集合半環, 영어 : semiring of sets ):
∅
∈
F
{\displaystyle \varnothing \in {\mathcal {F}}}
이며, 유한 교집합 에 대하여 닫혀 있으며, 임의의
A
,
B
∈
F
{\displaystyle A,B\in {\mathcal {F}}}
에 대하여,
A
∖
B
=
C
1
∪
⋯
∪
C
n
{\displaystyle A\setminus B=C_{1}\cup \cdots \cup C_{n}}
인 유한 개의 서로소 집합
C
1
,
…
,
C
n
∈
F
{\displaystyle C_{1},\dots ,C_{n}\in {\mathcal {F}}}
가 존재한다.[1] :166, §11
집합환 (集合環, 영어 : ring of sets ):
∅
∈
F
{\displaystyle \varnothing \in {\mathcal {F}}}
이며, 유한 합집합 , 유한 교집합 , 차집합 에 대하여 닫혀 있다.
σ환 (-環, 영어 : σ-ring ):
F
{\displaystyle {\mathcal {F}}}
는 집합환이며, 가산 합집합 에 대하여 닫혀 있다.
δ환 (-環, 영어 : δ-ring ):
F
{\displaystyle {\mathcal {F}}}
는 집합환이며, 가산 교집합 에 대하여 닫혀 있다.
집합 반대수 (集合半代數, 영어 : semialgebra of sets ):
F
{\displaystyle {\mathcal {F}}}
는 집합 반환이며,
X
∈
F
{\displaystyle X\in {\mathcal {F}}}
이다.
집합 대수 (集合代數, 영어 : algebra of sets ) 또는 집합체 (集合體, 영어 : field of sets ):
F
{\displaystyle {\mathcal {F}}}
는 집합환이며,
X
∈
F
{\displaystyle X\in {\mathcal {F}}}
이다. 즉,
F
{\displaystyle {\mathcal {F}}}
는
P
(
X
)
{\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}
의 부분 불 대수 를 이룬다.
시그마 대수 (σ代數, 영어 : σ-algebra ):
F
{\displaystyle {\mathcal {F}}}
는 σ환이자 δ환이며,
X
∈
F
{\displaystyle X\in {\mathcal {F}}}
이다.
π계 (-系, 영어 : π-system ):
F
{\displaystyle {\mathcal {F}}}
는 유한 교집합 에 대하여 닫혀 있다.
λ계 (-系, 영어 : λ-system ):
X
∈
F
{\displaystyle X\in {\mathcal {F}}}
이며, 여집합 에 대하여 닫혀 있으며, 가산 개의 서로소 집합 들의 합집합 에 대하여 닫혀 있다. 이와 동치로,
X
∈
F
{\displaystyle X\in {\mathcal {F}}}
이며, 만약
A
,
B
∈
F
{\displaystyle A,B\in {\mathcal {F}}}
이며
A
⊆
B
{\displaystyle A\subseteq B}
라면
B
∖
A
∈
F
{\displaystyle B\setminus A\in {\mathcal {F}}}
이며, 만약
A
1
,
A
2
,
⋯
∈
F
{\displaystyle A_{1},A_{2},\dots \in {\mathcal {F}}}
이며
A
1
⊆
A
2
⊆
⋯
{\displaystyle A_{1}\subseteq A_{2}\subseteq \cdots }
라면
⋃
i
=
1
∞
A
i
∈
F
{\displaystyle \textstyle \bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\in {\mathcal {F}}}
이다.
단조류 (單調類, 영어 : monotone class ): 만약
A
1
,
A
2
,
⋯
∈
F
{\displaystyle A_{1},A_{2},\dots \in {\mathcal {F}}}
이며
A
1
⊆
A
2
⊆
⋯
{\displaystyle A_{1}\subseteq A_{2}\subseteq \cdots }
라면
⋃
i
=
1
∞
A
i
∈
F
{\displaystyle \textstyle \bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\in {\mathcal {F}}}
이며, 만약
A
1
,
A
2
,
⋯
∈
F
{\displaystyle A_{1},A_{2},\dots \in {\mathcal {F}}}
이며
A
1
⊇
A
2
⊇
⋯
{\displaystyle A_{1}\supseteq A_{2}\supseteq \cdots }
라면
⋂
i
=
1
∞
A
i
∈
F
{\displaystyle \textstyle \bigcap _{i=1}^{\infty }A_{i}\in {\mathcal {F}}}
이다.
함의 관계
편집
다음과 같은 함의 관계가 성립한다.
π계
⇐
집합 반환
⇐
집합환
⇐
σ환 또는 δ환
⇑
⇑
⇑
σ환 + δ환
⇒
단조류
⇑
⇑
집합 반대수
⇐
집합 대수
⇐
시그마 대수
⇒
λ계
또한, 다음이 성립한다.
시그마 대수 ⇔ 집합 대수 + σ환 ⇔ 집합 대수 + δ환 ⇔ π계 + λ계 ⇔ 집합 대수 + 단조류
집합족으로 생성된 집합환
편집
임의의 유한 또는 무한 개의 집합환, σ환, δ환, 집합 대수, 시그마 대수, π계, λ계, 단조류의 교집합 은 각각 집합환, σ환, δ환, 집합 대수, 시그마 대수, π계, λ계, 단조류이다. 따라서, 임의의 집합
X
{\displaystyle X}
속의 집합족
F
⊆
P
(
X
)
{\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)}
에 대하여,
F
{\displaystyle {\mathcal {F}}}
를 포함하는 최소의 집합환, σ환, δ환, 집합 대수, 시그마 대수, π계, λ계, 단조류가 존재하며, 이는 각각
F
{\displaystyle {\mathcal {F}}}
를 포함하는 모든 집합환, σ환, δ환, 집합 대수, 시그마 대수, π계, λ계, 단조류의 교집합 과 같다. 이를 각각
F
{\displaystyle {\mathcal {F}}}
로 생성된 집합환, σ환, δ환, 집합 대수, 시그마 대수, π계, λ계, 단조류라고 한다.
집합
X
{\displaystyle X}
속의 집합족
F
⊆
P
(
X
)
{\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)}
으로 생성된 집합 대수는
a
(
F
)
=
{
⋃
i
=
1
m
⋂
j
=
1
n
A
i
j
:
m
,
n
∈
N
,
A
i
j
∈
F
∪
{
∅
}
∪
(
X
∖
(
F
∪
{
∅
}
)
}
{\displaystyle a({\mathcal {F}})=\left\{\bigcup _{i=1}^{m}\bigcap _{j=1}^{n}A_{ij}\colon m,n\in \mathbb {N} ,\;A_{ij}\in {\mathcal {F}}\cup \{\varnothing \}\cup (X\setminus ({\mathcal {F}}\cup \{\varnothing \})\right\}}
이다.
반면,
F
{\displaystyle {\mathcal {F}}}
로 생성된 시그마 대수
σ
(
F
)
{\displaystyle \sigma ({\mathcal {F}})}
는 명시적으로 나타낼 수 없다.
집합
X
{\displaystyle X}
속의 집합 반환
S
⊆
P
(
X
)
{\displaystyle {\mathcal {S}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)}
으로 생성된 집합환
r
(
S
)
{\displaystyle r({\mathcal {S}})}
은
S
{\displaystyle {\mathcal {S}}}
속 유한 개의 서로소 집합 들의 합집합 으로 구성된다. 만약
S
{\displaystyle {\mathcal {S}}}
가 집합 반대수라면,
r
(
S
)
{\displaystyle r({\mathcal {S}})}
는 집합 대수이다.[2] :33, §1.5, Problem 1.19
r
(
S
)
=
{
⋃
i
=
1
n
S
i
:
n
∈
N
,
S
i
∈
S
,
i
=
j
∨
S
i
∩
S
j
=
∅
}
{\displaystyle r({\mathcal {S}})=\left\{\bigcup _{i=1}^{n}S_{i}\colon n\in \mathbb {N} ,\;S_{i}\in {\mathcal {S}},\;i=j\lor S_{i}\cap S_{j}=\varnothing \right\}}
우선
R
=
{
⋃
F
:
F
⊆
R
0
,
|
F
|
<
ℵ
0
}
{\displaystyle {\mathcal {R}}=\left\{\bigcup {\mathcal {F}}\colon {\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {R}}_{0},\;|{\mathcal {F}}|<\aleph _{0}\right\}}
라고 하고,
R
=
r
(
R
0
)
{\displaystyle {\mathcal {R}}=r({\mathcal {R}}_{0})}
임을 보이자. 자명하게
R
⊆
r
(
R
0
)
{\displaystyle {\mathcal {R}}\subseteq r({\mathcal {R}}_{0})}
이므로,
R
{\displaystyle {\mathcal {R}}}
가 집합환을 이룸을 보이면 된다. 자명하게
R
0
⊆
R
{\displaystyle {\mathcal {R}}_{0}\subseteq {\mathcal {R}}}
이며, 특히
∅
∈
R
{\displaystyle \varnothing \in {\mathcal {R}}}
이다. 또한
R
{\displaystyle {\mathcal {R}}}
는 유한 합집합에 대하여 닫혀 있다. 따라서 임의의
A
,
B
∈
R
{\displaystyle A,B\in {\mathcal {R}}}
에 대하여
A
∖
B
∈
R
{\displaystyle A\setminus B\in {\mathcal {R}}}
임을 보이면 된다.
A
=
⋃
F
{\displaystyle A=\bigcup {\mathcal {F}}}
B
=
⋃
G
{\displaystyle B=\bigcup {\mathcal {G}}}
인 유한 서로소 집합
F
,
G
⊆
R
0
{\displaystyle {\mathcal {F}},{\mathcal {G}}\subseteq {\mathcal {R}}_{0}}
을 취하고, 임의의
F
∈
F
{\displaystyle F\in {\mathcal {F}}}
및
G
∈
G
{\displaystyle G\in {\mathcal {G}}}
에 대하여
F
∖
G
=
⋃
H
F
,
G
{\displaystyle F\setminus G=\bigcup {\mathcal {H}}_{F,G}}
인 유한 서로소 집합
H
F
,
G
⊆
R
0
{\displaystyle {\mathcal {H}}_{F,G}\subseteq {\mathcal {R}}_{0}}
을 취하자. 그렇다면
A
∖
B
=
⋃
F
∈
F
(
F
∖
⋃
G
)
=
⋃
F
∈
F
⋂
G
∈
G
(
F
∖
G
)
=
⋃
F
∈
F
⋂
G
∈
G
⋃
H
F
,
G
=
⋃
F
∈
F
⋃
H
∈
∏
G
∈
G
H
F
,
G
⋂
G
∈
G
H
G
{\displaystyle {\begin{aligned}A\setminus B&=\bigcup _{F\in {\mathcal {F}}}\left(F\setminus \bigcup {\mathcal {G}}\right)\\&=\bigcup _{F\in {\mathcal {F}}}\bigcap _{G\in {\mathcal {G}}}(F\setminus G)\\&=\bigcup _{F\in {\mathcal {F}}}\bigcap _{G\in {\mathcal {G}}}\bigcup {\mathcal {H}}_{F,G}\\&=\bigcup _{F\in {\mathcal {F}}}\bigcup _{H\in \prod _{G\in {\mathcal {G}}}{\mathcal {H}}_{F,G}}\bigcap _{G\in {\mathcal {G}}}H_{G}\\\end{aligned}}}
이다. 임의의
H
=
(
H
G
)
G
∈
G
∈
∏
G
∈
G
H
F
,
G
{\displaystyle H=(H_{G})_{G\in {\mathcal {G}}}\in \prod _{G\in {\mathcal {G}}}{\mathcal {H}}_{F,G}}
에 대하여,
⋂
G
∈
G
H
G
∈
R
0
{\displaystyle \bigcap _{G\in {\mathcal {G}}}H_{G}\in {\mathcal {R}}_{0}}
이므로,
A
∖
B
∈
R
0
{\displaystyle A\setminus B\in {\mathcal {R}}_{0}}
이다.
이제,
r
(
R
0
)
{\displaystyle r({\mathcal {R}}_{0})}
속 모든 원소
A
∈
r
(
R
0
)
{\displaystyle A\in r({\mathcal {R}}_{0})}
이
R
0
{\displaystyle {\mathcal {R}}_{0}}
속 서로소 원소의 유한 합집합임을 보이자.
A
=
⋃
i
=
1
n
A
i
{\displaystyle A=\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}}
인 유한 개의 서로소 원소
A
1
,
…
,
A
n
∈
R
0
{\displaystyle A_{1},\dots ,A_{n}\in {\mathcal {R}}_{0}}
을 취하고, 임의의
i
,
j
∈
{
1
,
…
,
n
}
{\displaystyle i,j\in \{1,\dots ,n\}}
에 대하여
A
i
∖
A
j
=
⋃
k
=
1
n
i
j
B
i
j
k
{\displaystyle A_{i}\setminus A_{j}=\bigcup _{k=1}^{n_{ij}}B_{ijk}}
인 유한 개의 서로소 원소
B
i
j
1
,
…
,
B
i
j
n
i
j
∈
R
0
{\displaystyle B_{ij1},\dots ,B_{ijn_{ij}}\in {\mathcal {R}}_{0}}
을 취하자. 그렇다면
A
=
⨆
i
=
1
n
(
A
i
∖
⋃
j
=
1
i
−
1
A
j
)
=
⨆
i
=
1
n
⋂
j
=
1
i
−
1
(
A
i
∖
A
j
)
=
⨆
i
=
1
n
⋂
j
=
1
i
−
1
⨆
k
=
1
n
i
j
B
i
j
k
=
⨆
i
=
1
n
⨆
k
1
=
1
n
i
1
⋯
⨆
k
i
−
1
=
1
n
i
,
i
−
1
⋂
j
=
1
i
−
1
B
i
j
k
j
{\displaystyle {\begin{aligned}A&=\bigsqcup _{i=1}^{n}\left(A_{i}\setminus \bigcup _{j=1}^{i-1}A_{j}\right)\\&=\bigsqcup _{i=1}^{n}\bigcap _{j=1}^{i-1}(A_{i}\setminus A_{j})\\&=\bigsqcup _{i=1}^{n}\bigcap _{j=1}^{i-1}\bigsqcup _{k=1}^{n_{ij}}B_{ijk}\\&=\bigsqcup _{i=1}^{n}\bigsqcup _{k_{1}=1}^{n_{i1}}\cdots \bigsqcup _{k_{i-1}=1}^{n_{i,i-1}}\bigcap _{j=1}^{i-1}B_{ijk_{j}}\end{aligned}}}
이며,
{
A
i
∖
⋃
j
=
1
i
−
1
A
j
:
i
∈
{
1
,
…
,
n
}
}
{\displaystyle \left\{A_{i}\setminus \bigcup _{j=1}^{i-1}A_{j}\colon i\in \{1,\dots ,n\}\right\}}
{
⋂
j
=
1
i
−
1
B
i
j
k
j
:
∀
j
∈
{
1
,
…
,
i
−
1
}
:
k
j
∈
{
1
,
…
,
n
i
j
}
}
(
i
∈
{
1
,
…
,
n
}
)
{\displaystyle \left\{\bigcap _{j=1}^{i-1}B_{ijk_{j}}\colon \forall j\in \{1,\dots ,i-1\}\colon k_{j}\in \{1,\dots ,n_{ij}\}\right\}\qquad (i\in \{1,\dots ,n\})}
는 모두 서로소 집합족이므로,
{
⋂
j
=
1
i
−
1
B
i
j
k
j
:
i
∈
{
1
,
…
,
n
}
,
∀
j
∈
{
1
,
…
,
i
−
1
}
:
k
j
∈
{
1
,
…
,
n
i
j
}
}
{\displaystyle \left\{\bigcap _{j=1}^{i-1}B_{ijk_{j}}\colon i\in \{1,\dots ,n\},\;\forall j\in \{1,\dots ,i-1\}\colon k_{j}\in \{1,\dots ,n_{ij}\}\right\}}
역시 서로소 집합족이다.
딘킨 π-λ 정리 (-定理, 영어 : Dynkin π–λ theorem )에 따르면, 임의의 π계
P
{\displaystyle {\mathcal {P}}}
및 λ계
L
{\displaystyle {\mathcal {L}}}
에 대하여, 만약
P
⊆
L
{\displaystyle {\mathcal {P}}\subseteq {\mathcal {L}}}
라면,
σ
(
P
)
⊆
L
{\displaystyle \sigma ({\mathcal {P}})\subseteq {\mathcal {L}}}
이다. 단조류 정리 (單調類定理, 영어 : monotone class theorem )에 따르면, 임의의 집합 대수
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
및 단조류
M
{\displaystyle {\mathcal {M}}}
에 대하여, 만약
A
⊆
M
{\displaystyle {\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {M}}}
이라면,
σ
(
A
)
⊆
M
{\displaystyle \sigma ({\mathcal {A}})\subseteq {\mathcal {M}}}
이다.
집합
{
{
2
,
{
3
}
}
,
{
1
}
,
{
5
,
6
}
}
{\displaystyle \{\{2,\{3\}\},\{1\},\{5,6\}\}}
은 모든 원소가 집합이므로 집합족이다. 선택 공리 를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론 과 같은 순수 집합론 의 경우, 논의 영역 속 모든 대상이 집합이므로, 집합족인 집합과 아닌 집합의 구분이 없다.
임의의 집합
X
{\displaystyle X}
에 대하여, 공집합
∅
{\displaystyle \varnothing }
과
X
{\displaystyle X}
의 멱집합
P
(
X
)
{\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}
은
X
{\displaystyle X}
속의 집합족이다.
실수 구간
[
0
,
1
]
⊆
R
{\displaystyle [0,1]\subseteq \mathbb {R} }
의 부분 구간 들의 집합족은
[
0
,
1
]
{\displaystyle [0,1]}
속의 집합 반대수를 이루며, 이는 집합 대수가 아니다.[1] :166, §11 실수선
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
속의 유계 집합 들의 집합족은
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
속의 δ환이지만, 집합 대수나 σ환이 아니다.[3] :8, §1.2
같이 보기
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