체비쇼프 함수

해석적 수론에서 체비쇼프 함수(영어: Chebyshev function)는 소수의 분포에 대한, 서로 연관된 두 함수를 일컫는다. 러시아의 수학자 파프누티 체비쇼프의 이름을 딴 것이다.

정의

제1종 체비쇼프 함수 $\vartheta (x)$는 다음과 같이 정의된다.

$\vartheta (x)=\sum _{p\leq x}\log p$

위 표기는 $x$ 이하의 모든 소수 $p$에 대한 항을 모두 합한다는 뜻이다.

제2종 체비쇼프 함수 $\psi (x)$는 비슷하게 다음과 같이 정의된다.

$\psi (x)=\sum _{n\leq x}\Lambda (n)=\sum _{p^{k}\leq x}\log p=\sum _{p\leq x}\lfloor \log _{p}x\rfloor \log p,$

여기서 $\Lambda (n)$은 폰 망골트 함수이다.

계산법과 두 체비쇼프 함수의 관계

첫 번째 체비쇼프 함수는 주어진 값 이하의 모든 소수에 대해 $\log p$의 값을 모두 더하는 함수이고, 두 번째 체비쇼프 함수는 주어진 값 이하의 모든 소수의 거듭제곱수들에 대해 $\log p$의 값을 모두 더하는 함수이다. 따라서 항상 다음 부등식이 성립한다.

$\vartheta (x)\leq \psi (x)$

이해를 돕기 위해 약간 계산을 해 보면 다음과 같다.

$\vartheta (12.4)=\sum _{p\leq 12.4}\log p=\log 2+\log 3+\log 5+\log 7+\log 11$

$\psi (12.4)=\sum _{p^{k}\leq 12.4}\log p=\log 2+\log 3+\log 2+\log 5+\log 7+\log 2+\log 3+\log 11$

또한 다음이 성립함을 쉽게 이해할 수 있다.

$\psi (x)=\sum _{n=1}^{\infty }\vartheta \left(x^{1/n}\right).$

위의 합에서 $n$이 어느 한도를 넘으면 모든 항이 사라지므로, 실제로는 유한합이 된다. 즉,

$\vartheta \left(x^{1/n}\right)=0{\text{ for }}n>\log _{2}x\,.$

점근적 성질

다음 세 극한은 동치이다.

$\lim _{x\to \infty }{\frac {\pi (x)\log x}{x}}=1$

$\lim _{x\to \infty }{\frac {\vartheta (x)}{x}}=1$

$\lim _{x\to \infty }{\frac {\psi (x)}{x}}=1$

여기서 $\pi (x)$는 소수 계량 함수를 의미한다. 마지막 식은 점근 표기법을 써서 다음과 같이 표현할 수 있다.

$\psi (x)\sim x$

첫 번째 극한은 소수 정리이다. 소수 정리는 위 극한들이 동치라는 성질을 이용하여, 세 번째 극한을 증명함으로써 증명할 수 있다.

미분 가능화

미분 가능화한 함수(smoothing function)는 다음과 같이 정의된다.

$\psi _{1}(x)=\int _{0}^{x}\psi (t)\,dt.$

점근 표기법을 이용하여 다음과 같이 점근적 성질을 표현할 수 있다.

$\psi _{1}(x)\sim {\frac {x^{2}}{2}}.$

위 사실은 실제로 $\psi (x)\sim x$와 동치임을 증명할 수 있고 따라서 이 미분가능화한 함수의 점근적 성질을 증명하여 소수 정리의 해석적 증명을 할 수도 있다.

외부 링크

• “Chebyshev function”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Chebyshev functions”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.