축소 판정법
대수학에서, 축소 판정법(縮小判定法, 영어: reduction criterion)은 정수 계수 다항식이 더 낮은 차수의 두 정수 계수 다항식의 곱으로 나타낼 수 없을 충분 조건을 제시하는 정리이다.
정의 편집
두 정역 및 환 준동형 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 는 자연스럽게 다항식환 사이의 환 준동형
로 확장될 수 있다. 이제, 의 분수체를 각각 와 라고 하고, 다항식 가 다음을 만족시킨다고 하자.
- 는 의 기약 다항식이다.
축소 판정법에 따르면, 는 더 낮은 차수의 두 계수의 다항식의 곱으로 나타낼 수 없다. 만약 가 유일 인수 분해 정역일 경우, 는 의 기약 다항식이다.[1]:185 §IV.3 Theorem 3.2
증명 편집
귀류법을 사용하여,
인 가 존재한다고 가정하자. 그렇다면,
이다. 또한,
이므로,
이다. 이는 가 기약 다항식인 데 모순이다.
각주 편집
- ↑ Lang, Serge (2002). 《Algebra》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 211 개정 3판. New York, NY: Springer. doi:10.1007/978-1-4613-0041-0. ISBN 978-1-4612-6551-1. ISSN 0072-5285. MR 1878556. Zbl 0984.00001.