켈러 미분

가환대수학과 대수기하학에서 켈러 미분(영어: Kähler differential)은 (아핀 스킴으로 여긴) 가환환 또는 일반적인 스킴 위에 대수적으로 정의할 수 있는 미분 형식의 일종이다.

정의

가환환 $R$, $S$ 사이의 환 준동형 사상 $\phi \colon R\to S$가 주어졌다고 하자. 그렇다면 다음과 같은 보편 성질을 만족시키는 $S$-가군 $\Omega _{S/R}$과 $d\colon S\to \Omega _{S/R}$을 생각하자.

• $d$는 $R$-가군의 준동형이다.
• (곱 규칙) $d$는 미분 연산자이다. 즉, 임의의 $s,t\in S$에 대하여, $d(st)=s\cdot (dt)+t\cdot (ds)$이다.
• 또한, 위 두 조건들을 만족시키는 임의의 $S$-가군 $M'$과 $d'\colon S\to M'$에 대하여, $d'=f\circ d$인 $S$-가군 준동형 $f\colon \Omega _{S/R}\to M'$이 유일하게 존재한다.

이러한 $d\colon S\to \Omega _{S/R}$은 항상 존재하며, 이를 켈러 미분의 가군 $\Omega _{S/R}$라고 한다.

보다 일반적으로, 스킴의 사상 $X\to Y$가 주어졌을 때, $d\colon {\mathcal {O}}_{X}\to \Omega _{X/Y}$는 다음 보편 성질을 만족시키는 ${\mathcal {O}}_{Y}$-가군층이다.

• $d$는 ${\mathcal {O}}_{Y}$-가군층의 사상이다.
• (곱 규칙) $d$는 미분 연산자이다. 즉, 임의의 $s,t\in \Gamma (U;{\mathcal {O}}_{X})$에 대하여, $d(st)=s\cdot (dt)+t\cdot (ds)\in \Gamma (U;\Omega _{X/Y})$이다.
• 또한, 위 두 조건들을 만족시키는 임의의 $d'\colon {\mathcal {O}}_{X}\to {\mathcal {M}}$에 대하여, $d'=f\circ d$인 ${\mathcal {O}}_{Y}$-가군층 사상 $f\colon \Omega _{X/Y}\to {\mathcal {M}}$이 유일하게 존재한다.

참고 문헌

• Hartshorne, Robin (1977). 《Algebraic geometry》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 52. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-3849-0. ISBN 978-0-387-90244-9. ISSN 0072-5285. MR 0463157. Zbl 0367.14001. 

외부 링크

• “Derivations, module of”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Differential calculus (on analytic spaces)”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Kähler differential”. 《nLab》 (영어).