탈레스 정리 (지름)

기하학에서, 탈레스 정리(-定理, 영어: Thales' theorem)는 원의 지름의 원주각은 직각이라는 정리이다. 이는 원주각의 크기가 중심각의 크기의 1/2이라는 사실의 특수한 경우이다.

탈레스 정리: 만약 AC이 원의 지름이고, B가 원주 상의 점이라면, 각 ∠ ABC은 직각이다.

정의

선분 $AB$를 지름으로 하는 원 위에 $A$나 $B$가 아닌 점 $C$가 주어졌다고 하자. 탈레스 정리에 따르면,

$\angle ACB=90^{\circ }$

이다.^{:263, §22.2, Theorem 22.17}

즉, 삼각형 $ABC$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.^{:30, §1F, Corollary 1.22}

• 꼭짓점 $C$에서의 내각은 직각이다.
• 대변 $AB$는 삼각형 $ABC$의 외접원의 지름이다.

증명

원의 중심을 $O$라고 하자. 그렇다면 반지름의 길이는 일정하므로

$OA=OB=OC$

이다. 삼각형에서 길이가 같은 변이 마주보는 내각의 크기는 같으므로 $\angle OAC=\angle OCA$와 $\angle OBC=\angle OCB$가 성립한다. 삼각형 $ABC$의 내각의 합은 $180^{\circ }$이므로

$180^{\circ }=\angle BAC+\angle ABC+\angle ACB=2\angle ACB$

이다. 즉, $\angle ACB=90^{\circ }$가 성립한다.

쌍곡 탈레스 정리

쌍곡 평면 위에서, 선분 $AB$를 지름으로 하는 원 위에 $A$나 $B$가 아닌 점 $C$가 주어졌다고 하자. 그렇다면,

$\angle ACB<90^{\circ }$

이다.^{:263, §22.2, Theorem 22.17}

절대 탈레스 정리

절대 평면 위에서, 선분 $AB$를 지름으로 하는 원 위에 $A$나 $B$가 아닌 점 $C$가 주어졌다고 하자. 그렇다면,

$\angle ACB\leq 90^{\circ }$

이다.^{:263, §22.2, Theorem 22.17}

역사

고대 그리스의 수학자 탈레스의 이름을 땄다.

외부 링크

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Thales' theorem”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.