특수 켈러 다양체

미분기하학과 이론물리학에서 특수 켈러 다양체(영어: special Kähler manifold)와 경직 특수 켈러 다양체(영어: rigid special Kähler manifold)는 특별한 추가 구조를 갖는 켈러 다양체이다.

정의

경직 특수 켈러 다양체

경직 특수 켈러 다양체 $M$은 다음과 같은 데이터로 구성된다.

• 복소수 $n$차원 켈러 다양체 $M$
• $M$ 위의 $2n$차원 복소수 아핀 공간 다발 $E$. 또한,
  • 이 아핀 다발은 각 올에 다음과 같은 꼴의 심플렉틱 내적을 갖는다.

    $\langle u,v\rangle =u^{\top }{\begin{pmatrix}0&1_{n\times n}\\-1_{n\times n}&0\end{pmatrix}}v$

  • 이 아핀 다발의 전이 함수는 (적절한 열린 덮개의 두 원소 $U,V$에 대하여) 다음과 같은 꼴이다.
  • $v\mapsto \exp(\mathrm {i} c)Mv+B\qquad (c\in \mathbb {R} ,:\;M\in \operatorname {Sp} (2n;\mathbb {R} ),\;B\in \mathbb {C} ^{2n})*<math>E$의 정칙 단면 $V$

이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

• $\langle \partial _{i},\partial _{j}V\rangle =0$
• $M$의 켈러 형식은 다음과 같아야 한다.

  $K=-{\frac {1}{2\pi }}\partial {\bar {\partial }}\langle V,{\bar {V}}\rangle \in \Omega ^{1,1}(M)$

특수 켈러 다양체

경직 특수 켈러 다양체 $M$은 다음과 같은 데이터로 구성된다.

• 복소수 $n$차원 켈러 다양체 $M$. 또한, 그 켈러 형식 $K\in \Omega ^{1,1}(M)$의 돌보 코호몰로지류는 정수 계수 코호몰로지 $[K]\in \operatorname {H} ^{2}(M;\mathbb {Z} )/\operatorname {Tors} (\operatorname {H} ^{2}(M;\mathbb {Z} ))$에 속한다. 이를 천 특성류로 갖는 정칙 선다발을 $L$이라고 하자.
• $M$ 위의 $2(n+1)$차원 복소수 벡터 다발 $E$. 또한,
  • 이 벡터 다발은 각 올에 다음과 같은 꼴의 심플렉틱 내적을 갖는다.

    $\langle u,v\rangle =u^{\top }{\begin{pmatrix}0&1_{n\times n}\\-1_{n\times n}&0\end{pmatrix}}v$

  • 이 벡터 다발의 전이 함수는 (적절한 열린 덮개의 두 원소 $U,V$에 대하여) 다음과 같은 꼴이다.
  • $v\mapsto \exp(\mathrm {i} f)Mv\qquad (f\colon U\cap V\to \mathbb {C} ,\;{\bar {\partial }}f=0,\;M\in \operatorname {Sp} (2n;\mathbb {R} ))$
• $L\otimes E$의 정칙 단면 $v$. 이는 다음 조건을 만족시킨다.
  • $\langle v,\partial _{i}v\rangle =0$
  • $K=-{\frac {\mathrm {i} }{2\pi }}\partial {\bar {\partial }}\ln(\mathrm {i} \langle {\bar {v}},v\rangle )\in \Omega ^{1,1}(M)$

응용

경직 특수 켈러 다양체는 중력을 포함하지 않는 4차원 ${\mathcal {N}}=2$ 초대칭 이론의 모듈러스 공간으로 등장한다. 마찬가지로, 특수 켈러 다양체는 4차원 ${\mathcal {N}}=2$ 초중력 이론의 모듈러스 공간으로 등장한다.

참고 문헌

• Craps, Ben; Roose, Frederik; Troost, Walter; Van Proeyen, Antoine (1997). “What is special Kähler geometry?” (영어). arXiv:hep-th/9703082.