파투 보조정리
(파투의 보조정리에서 넘어옴)
실해석학에서 파투 보조정리(영어: Fatou’s lemma)는 가측 함수의 열의 하극한의 르베그 적분과 르베그 적분의 하극한 사이에 성립하는 부등식이다.
정의
편집파투 보조정리에 따르면, 측도 공간 위의 임의의 음이 아닌 가측 함수의 열 에 대하여, 다음이 성립한다.[1]:23
여기서 는 하극한이다.
예
편집등식
편집만약 이 같은 상수 함수의 열일 경우, 파투 보조정리는 등식이 된다.
부등식
편집실수선 위의 보렐 시그마 대수 와 그 위의 르베그 측도 를 생각하자.
가측 함수열
의 경우, 파투 보조정리의 좌변과 우변은 각각 0과 ∞이므로, 이는 등식이 아니다.
가측 함수열
의 경우도 파투 보조정리는 엄격한 부등식 0<1이다.
역사
편집각주
편집- ↑ Rudin, Walter (1987). 《Real and Complex Analysis》 (영어) 3판. McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-054234-1. MR 0924157. Zbl 0925.00005. 2014년 10월 6일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2014년 10월 6일에 확인함.
외부 링크
편집- “Fatou theorem (on Lebesgue integrals)”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
- “Fatou’s lemma”. 《PlanetMath》 (영어).
- “Proof of Fatou’s lemma”. 《PlanetMath》 (영어).
- “Fatou’s lemma for integrals”. 《ProofWiki》 (영어).